matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer Veränderlichenvektorwertige Funktionen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - vektorwertige Funktionen
vektorwertige Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

vektorwertige Funktionen: Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Mi 25.01.2006
Autor: Mathe_Alex

Aufgabe
$W= [mm] W_{1} \times [/mm] ... [mm] \times W_{m}$ [/mm] Produkt normierter Vektorräume
$I  [mm] \subset \IR$, [/mm] $p [mm] \in [/mm] I$
[mm] $f=(f_{1},...,f{n}) [/mm] : I [mm] \to [/mm] W$
Zeigen Sie, dass $f$ genau dann in $p$ differenzierbar ist, falls [mm] $f_{i}$ [/mm] für alle $i [mm] \in [/mm] {1,...,m}$ in $p$ differenzierbar ist und dass in diesem Fall gilt
[mm] $f'(p)=(f'_{1}(p),\ldots,f'_{n}(p))$ [/mm]

Guten Abend allerseits,

"=>" habe ich so gelöst:
[mm] f_{i}=pr_{i} \circ [/mm] f . Nach Voraussetzung ist f differenzierbar bei p und [mm] pr_{i} [/mm] ist linear und stetig. Solche Verkettungen sind wieder differenzierbar.
"<=" jetzt hapert es. Wie soll ich das formal korrekt machen? Eigentlich ist es ja offensichtlich, da für [mm] f_{i} [/mm] ja für alle i differenzierbar ist.
[mm] f=(f_{1},...,f_{n}) [/mm] ist ja so definiert, also folgt doch sofort die besagte Ableitung...
Aber das ist doch irgendwie kein Beweis, oder?
Wie soll ich alle [mm] f_{i} [/mm] zu f zusammenbauen?

Viele Grüße
Alex

        
Bezug
vektorwertige Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:48 Do 26.01.2006
Autor: mathiash

Hallo Alex,

also nimm doch an, dass die [mm] f_i\colon I\to W_i [/mm] alle diffbar sind in p, d.h.

''um  p herum sind die [mm] f_i [/mm] linear approximierbar mittels des Gradienten [mm] f_i'': [/mm]

[mm] f_i(p+\delta) [/mm] = [mm] f_i(p) [/mm] + [mm] f'_I(p)\cdot \delta [/mm]  + [mm] R_i(\delta) [/mm] mit

[mm] \parallel R_i(\delta)\parallel \to [/mm] 0 [mm] \:\: (|\delta|\to [/mm] 0)     (gemeint ist die Norm in [mm] W_i). [/mm]

Dann musst Du analoges zeigen fuer f, und da ist doch dann

[mm] f(p+\delta) [/mm] = [mm] (f_1(p+\delta),\ldots [/mm] , [mm] f_m(p+\delta)) [/mm]

und dann setzt Du die Bedingung fuer die [mm] f_i [/mm] ein und bekommst lineare Approximierbarkeit durch

[mm] (f_1'(p),\ldots [/mm] , [mm] f_m'(p)) [/mm]    heraus.

Viele Gruesse,

Mathias

Bezug
        
Bezug
vektorwertige Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Sa 28.01.2006
Autor: Mathe_Alex

Zwar etwas zu spät, ich hoffe es wird dennoch gelesen. :)

Danke für den Tipp, ich hab es letztendlich aber anders gemacht :)
Wir haben nämlich mal bewiesen, dass wenn eine Folge in jedem einzelnen Raum des kartesischen Produktes konvergiert, dass sie dann auch im gesamtraum konvergiert und diese Form annimmt. Damit geht das ganze denke ich auch.

:)

Viele Grüße
Alex

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]