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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - verallgemeinerte Eigenräume
verallgemeinerte Eigenräume < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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verallgemeinerte Eigenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Mo 15.06.2015
Autor: zahlenfreund

Aufgabe
Bestimmen Sie die verallgemeinerten Eigenräume von B und die Matrix [mm] B^{50} [/mm] für  [mm] B=\begin{pmatrix} -1 & -4 & -1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ \end{pmatrix} [/mm]

Hallo Leute,

Das Charakteristische Polynom lautet [mm] P_{B}(x)=4x^{2}-x^{3} [/mm]
Eigenwerte [mm] x_{1}=4 x_{2}=0 [/mm]
Eigenraum bestimmen  [mm] V(x_{1}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]  (nach Gaussumformung)
[mm] V(x_{1})= [/mm] ( v [mm] \in [/mm] V | [mm] v=\vektor{7s \\ s \\ s}, s\in \IR [/mm] ) [mm] dim(V(x_{1}))=1 [/mm]
Wie bestimme ich jetzt den verallgemeinerten Eigenraum zu [mm] x_1 [/mm]


mfg zahlenfreund

        
Bezug
verallgemeinerte Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Mo 15.06.2015
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die verallgemeinerten Eigenräume von B und
> die Matrix [mm]B^{50}[/mm] für  [mm]B=\begin{pmatrix} -1 & -4 & -1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hallo Leute,
>  
> Das Charakteristische Polynom lautet [mm]P_{B}(x)=4x^{2}-x^{3}[/mm]
>  Eigenwerte [mm]x_{1}=4 x_{2}=0[/mm]


Nein. Die Eigenwerte von B sind 0 und 1.


> Eigenraum bestimmen  [mm]V(x_{1})[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>  (nach Gaussumformung)
>  [mm]V(x_{1})=[/mm] ( v [mm]\in[/mm] V | [mm]v=\vektor{7s \\ s \\ s}, s\in \IR[/mm] )

Wie Du darauf kommst, ist mir ein Rätsel !

FRED

> [mm]dim(V(x_{1}))=1[/mm]
>  Wie bestimme ich jetzt den verallgemeinerten Eigenraum zu
> [mm]x_1[/mm]
>  
>
> mfg zahlenfreund


Bezug
                
Bezug
verallgemeinerte Eigenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Di 16.06.2015
Autor: zahlenfreund

Ich habe die Eigenwerte mit Wolfram-Alpha berechnet und bekomme [mm] x_{1}=4 [/mm] und [mm] x_{2}=0 x_{3}=0. [/mm]

Den Eigenraum [mm] V(x_{1}) [/mm] habe ich folgendermaßen berechnet
[mm] V(x_{1})=Kern\begin{pmatrix} (-1-x_{1}) & -4 & -1 \\ 2 & (4-x_{1}) & 2 \\ 1 & 4 & (1-x_{1}) \\ \end{pmatrix} [/mm] nach Gaussumformungen erhalte ich die Matrix [mm] V(x_{1})=Kern\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]
Jetzt kann ich aus der Matrix ablesen [mm] v_{1}+4*v_{2}-3*v_{3}=0, [/mm]
[mm] -v_{2}+v_{3}=0, v_{3}=s [/mm] mit [mm] s\in \IR [/mm]

[mm] V(x_{1})= [/mm] ( v  [mm] \in [/mm]  V |  [mm] v=s*\vektor{-1\\ 1\\ 1}, s\in \IR) [/mm]

Mal von Rechenfehlern abgesehen wie bestimme ich den verallgemeinerten Eigenraum ?

Gruß zahlenfreund


Bezug
                        
Bezug
verallgemeinerte Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Mi 17.06.2015
Autor: fred97

Ist A eine Matrix und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist

   [mm] Kern(A-\lambda [/mm] E)

der Eigenraum von A zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm]

Ist r [mm] \ge [/mm] 2, r [mm] \in \IN, [/mm] so heißt

   [mm] Kern((A-\lambda E)^r) [/mm]

ein verallgemeinerter Eigenraum von A zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm]

Beachte: es ex. ein [mm] r_0 \in \IN [/mm] mit

   [mm] Kern((A-\lambda E)^{r_0+s})= Kern((A-\lambda E)^{r_0}) [/mm]  für alle s [mm] \in \IN. [/mm]

FRED

Bezug
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