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Forum "Induktionsbeweise" - vollst. Induktion
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vollst. Induktion: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:36 So 01.10.2017
Autor: ser

Aufgabe
Man beweise durch vollständige Induktion, dass [mm] (7)^n [/mm]  -1   ist durch 6 teilbar, für alle natürliche Zahl n.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Induktionsanfang n=1.

(7)^(1) -1 =6       und 6 ist durch 6 teilbar ( da es existiert ein k ∈ Z sodass 6= 6k, hier  k=1 )

Induktionsvoraussetzung

wir nehmen an, dass 7^(n)−1 durch 6 teilbar ist für irgend ein n ∈N,
d.h es existiert ein t ∈Z,sodass (7)^(n)−1=6t.

Induktionsschluss
Zu zeigen ist dass, 7^(n+1)−1 durch 6 teilbar ist, d.h es existiert ein t′∈Z sodass 7^(n+1)−1=6t′

            
7^(n+1)−1=7^(n)*7−1
=  (6t+1)*7−1              Ind.An: 7^(n)−1=6t
                                               =>  7^(n)= 6t+1

=(42t+6)
=6(7t+1)
=6t′  mit t′=7t+1 ∈Z.


Passt das so? Hat mir jemand noch eine Aufgabe evt. mit Summe oder Produkt?


        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:34 So 01.10.2017
Autor: angela.h.b.


> Passt das so? Hat mir jemand noch eine Aufgabe
> evt. mit Summe oder Produkt?

Hallo,

Du hast es richtig gemacht.

Weitere Aufgaben findest Du im Internet, z.B. hier:
https://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

LG Angela


Bezug
        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:06 So 01.10.2017
Autor: HJKweseleit

Beweise: [mm] a^n-b^n [/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] a [mm] \ne [/mm] b.
Für a=7 und n=1 hast du den Beweis ja schon erbracht.



Gegeben ist Ein quadratisches "Schachbrett", das aus [mm] 2^n [/mm] x [mm] 2^n [/mm] Quadraten besteht (für n=3 also ein richtiges Schachbrett). Irgendeines der Felder wird entfernt. Die Restfläche soll mit "Elementarfliesen" vollständig und überlappungsfrei bedeckt werden. Eine Elementarfliese besteht aus einem 2 x 2 - Schachbrett, bei dem ebenfalls eine Fläche entfernt wurde, also aus 3 Feldern in L-Form, wobei jedes dieser Felder dieselbe Größe hat wie jedes der Felder auf dem Gesamtfeld.

Beweise, dass solch eine Überdeckung möglich ist.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:23 So 01.10.2017
Autor: fred97


> Beweise: [mm]a^n-b^n[/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm]\in \IZ,[/mm] n
> [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\ne[/mm] b.

Bitte: [mm] $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 So 01.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> > Beweise: [mm]a^n-b^n[/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm]\in \IZ,[/mm] n
> > [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\ne[/mm] b.
>  
> Bitte:
> [mm]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})[/mm]


Hallo Fred,

das hätten hier auch noch ein paar andere gewusst. Aber die
Existenz dieser Formel mindert nicht den Wert der Aufgabe,
die Teilbarkeit mittels vollständiger Induktion zu zeigen,
als Übungsaufgabe.

LG ,    Al-Chw.





Bezug
                                
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 So 01.10.2017
Autor: fred97


> > > Beweise: [mm]a^n-b^n[/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm]\in \IZ,[/mm] n
> > > [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\ne[/mm] b.
>  >  
> > Bitte:
> > [mm]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})[/mm]
>
>
> Hallo Fred,

Hallo Al,


>  
> das hätten hier auch noch ein paar andere gewusst.

Ach  was ? Kaum zu glauben. .......
Was soll diese Bemerkung?




> Aber
> die
>  Existenz dieser Formel mindert nicht den Wert der
> Aufgabe,
>  die Teilbarkeit mittels vollständiger Induktion zu
> zeigen,
>  als Übungsaufgabe.

Ich habe nie etwas anderes gedacht, geglaubt und/oder gesagt

Liebe Grüße

FRED


>  
> LG ,    Al-Chw.
>  
>
>
>  


Bezug
                                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 So 01.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Fred,

ich war nur der Meinung, dass die Angabe der Zerlegung
für die von HJK angegebene Übungsaufgabe zum Thema
der vollständigen Induktion nicht nötig und nicht hilfreich
sei.

LG ,    Al.Chw.

Bezug
                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 So 01.10.2017
Autor: HJKweseleit


> > Beweise: [mm]a^n-b^n[/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm]\in \IZ,[/mm] n
> > [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\ne[/mm] b.
>  
> Bitte:
> [mm]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})[/mm]


Hallo Fred,

da der Thread die Überschrift "vollst. Induktion" trägt und da um weitere Aufgaben hierzu gebeten wurden, sollten diese beiden Aufgaben natürlich Übungen zur vollst. Induktion sein und sonst nichts, insbesondere keine Herausforderung an das allgemeine Publikum.

Die zweite Aufgabe dürfte vielleicht ohne v.I. dann etwas weniger trivial zu lösen sein...?

LG
HJKweseleit

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Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 So 01.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

die Elementarfließen bestehen aus 3 Quadraten. Ich sehe nicht, wie eine solche Parkettierung für gerade n funktionieren soll, oder verstehe ich etwas falsch?

Sorry, das war ein Irrtum meinerseits.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 So 01.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Man beweise durch vollständige Induktion, dass [mm](7)^n[/mm] -1
> ist durch 6 teilbar, für alle natürliche Zahl n.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>
>

> Induktionsanfang n=1.

>

> (7)^(1) -1 =6 und 6 ist durch 6 teilbar ( da es
> existiert ein k ∈ Z sodass 6= 6k, hier k=1 )

>

> Induktionsvoraussetzung

>

> wir nehmen an, dass 7^(n)−1 durch 6 teilbar ist für
> irgend ein n ∈N,
> d.h es existiert ein t ∈Z,sodass (7)^(n)−1=6t.

>

> Induktionsschluss
> Zu zeigen ist dass, 7^(n+1)−1 durch 6 teilbar ist, d.h
> es existiert ein t′∈Z sodass 7^(n+1)−1=6t′

>
>

> 7^(n+1)−1=7^(n)*7−1
> = (6t+1)*7−1 Ind.An: 7^(n)−1=6t
> => 7^(n)=
> 6t+1

>

> =(42t+6)
> =6(7t+1)
> =6t′ mit t′=7t+1 ∈Z.

>
>

> Passt das so?

Wie schon gesagt wurde, ist es richtig, jedoch in meinen Augen ziemlich umständlich. Ich würde den Beweis des Induktionsschlusses so hinschreiben:

[mm]\begin{aligned} 7^{n+1}-1&=7*7^n-1\\ &=(6+1)*7^n-1\\ &=6*7^n+(7^n-1) \end{aligned}[/mm]

Die Teilbarkeit durch 6 ist jetzt offensichtlich (der zweite Summand ist nach IV durch 6 teilbar). Und den Zwischenschritt könnte man auch noch weglassen, wenn es schnell gehen soll.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 So 01.10.2017
Autor: Fulla


> Wie schon gesagt wurde, ist es richtig, jedoch in meinen
> Augen ziemlich umständlich. Ich würde den Beweis des
> Induktionsschlusses so hinschreiben:

>

> [mm]\begin{aligned} 7^{n+1}-1&=7*7^n-1\\ &=(6+1)*(7^n-1)\\ &=6*(7^n-1)+(7^n-1) \end{aligned}[/mm]

Hallo Diophant,

die zweite und dritte Zeile stimmen so aber nicht... Richtig muss es heißen
[mm]7^{n+1}-1=(6+1)\cdot 7^n -1 = 6\cdot 7^n + (7^n -1)[/mm].

Lieben Gruß,
Fulla

> Die Teilbarkeit durch 6 ist jetzt offensichtlich (der
> zweite Summand ist nach IV durch 6 teilbar). Und den
> Zwischenschritt könnte man auch noch weglassen, wenn es
> schnell gehen soll.

>
>

> Gruß, Diophant


Bezug
                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 So 01.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> die zweite und dritte Zeile stimmen so aber nicht...
> Richtig muss es heißen
> [mm]7^{n+1}-1=(6+1)\cdot 7^n -1 = 6\cdot 7^n + (7^n -1)[/mm].

oh, vor lauter TeXen...

So war es auch gemeint und ist bereits ausgebessert. Danke für die Korrektur!

Gruß, Diophant

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