matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenInduktionsbeweisevollst. Induktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Induktionsbeweise" - vollst. Induktion
vollst. Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

vollst. Induktion: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:36 So 01.10.2017
Autor: ser

Aufgabe
Man beweise durch vollständige Induktion, dass [mm] (7)^n [/mm]  -1   ist durch 6 teilbar, für alle natürliche Zahl n.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Induktionsanfang n=1.

(7)^(1) -1 =6       und 6 ist durch 6 teilbar ( da es existiert ein k ∈ Z sodass 6= 6k, hier  k=1 )

Induktionsvoraussetzung

wir nehmen an, dass 7^(n)−1 durch 6 teilbar ist für irgend ein n ∈N,
d.h es existiert ein t ∈Z,sodass (7)^(n)−1=6t.

Induktionsschluss
Zu zeigen ist dass, 7^(n+1)−1 durch 6 teilbar ist, d.h es existiert ein t′∈Z sodass 7^(n+1)−1=6t′

            
7^(n+1)−1=7^(n)*7−1
=  (6t+1)*7−1              Ind.An: 7^(n)−1=6t
                                               =>  7^(n)= 6t+1

=(42t+6)
=6(7t+1)
=6t′  mit t′=7t+1 ∈Z.


Passt das so? Hat mir jemand noch eine Aufgabe evt. mit Summe oder Produkt?


        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:34 So 01.10.2017
Autor: angela.h.b.


> Passt das so? Hat mir jemand noch eine Aufgabe
> evt. mit Summe oder Produkt?

Hallo,

Du hast es richtig gemacht.

Weitere Aufgaben findest Du im Internet, z.B. hier:
https://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

LG Angela


Bezug
        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:06 So 01.10.2017
Autor: HJKweseleit

Beweise: [mm] a^n-b^n [/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] a [mm] \ne [/mm] b.
Für a=7 und n=1 hast du den Beweis ja schon erbracht.



Gegeben ist Ein quadratisches "Schachbrett", das aus [mm] 2^n [/mm] x [mm] 2^n [/mm] Quadraten besteht (für n=3 also ein richtiges Schachbrett). Irgendeines der Felder wird entfernt. Die Restfläche soll mit "Elementarfliesen" vollständig und überlappungsfrei bedeckt werden. Eine Elementarfliese besteht aus einem 2 x 2 - Schachbrett, bei dem ebenfalls eine Fläche entfernt wurde, also aus 3 Feldern in L-Form, wobei jedes dieser Felder dieselbe Größe hat wie jedes der Felder auf dem Gesamtfeld.

Beweise, dass solch eine Überdeckung möglich ist.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:23 So 01.10.2017
Autor: fred97


> Beweise: [mm]a^n-b^n[/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm]\in \IZ,[/mm] n
> [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\ne[/mm] b.

Bitte: [mm] $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 So 01.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> > Beweise: [mm]a^n-b^n[/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm]\in \IZ,[/mm] n
> > [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\ne[/mm] b.
>  
> Bitte:
> [mm]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})[/mm]


Hallo Fred,

das hätten hier auch noch ein paar andere gewusst. Aber die
Existenz dieser Formel mindert nicht den Wert der Aufgabe,
die Teilbarkeit mittels vollständiger Induktion zu zeigen,
als Übungsaufgabe.

LG ,    Al-Chw.





Bezug
                                
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 So 01.10.2017
Autor: fred97


> > > Beweise: [mm]a^n-b^n[/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm]\in \IZ,[/mm] n
> > > [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\ne[/mm] b.
>  >  
> > Bitte:
> > [mm]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})[/mm]
>
>
> Hallo Fred,

Hallo Al,


>  
> das hätten hier auch noch ein paar andere gewusst.

Ach  was ? Kaum zu glauben. .......
Was soll diese Bemerkung?




> Aber
> die
>  Existenz dieser Formel mindert nicht den Wert der
> Aufgabe,
>  die Teilbarkeit mittels vollständiger Induktion zu
> zeigen,
>  als Übungsaufgabe.

Ich habe nie etwas anderes gedacht, geglaubt und/oder gesagt

Liebe Grüße

FRED


>  
> LG ,    Al-Chw.
>  
>
>
>  


Bezug
                                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 So 01.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Fred,

ich war nur der Meinung, dass die Angabe der Zerlegung
für die von HJK angegebene Übungsaufgabe zum Thema
der vollständigen Induktion nicht nötig und nicht hilfreich
sei.

LG ,    Al.Chw.

Bezug
                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 So 01.10.2017
Autor: HJKweseleit


> > Beweise: [mm]a^n-b^n[/mm] ist teilbar durch a-b für a,b [mm]\in \IZ,[/mm] n
> > [mm]\in \IN,[/mm] a [mm]\ne[/mm] b.
>  
> Bitte:
> [mm]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})[/mm]


Hallo Fred,

da der Thread die Überschrift "vollst. Induktion" trägt und da um weitere Aufgaben hierzu gebeten wurden, sollten diese beiden Aufgaben natürlich Übungen zur vollst. Induktion sein und sonst nichts, insbesondere keine Herausforderung an das allgemeine Publikum.

Die zweite Aufgabe dürfte vielleicht ohne v.I. dann etwas weniger trivial zu lösen sein...?

LG
HJKweseleit

Bezug
                
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 So 01.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

die Elementarfließen bestehen aus 3 Quadraten. Ich sehe nicht, wie eine solche Parkettierung für gerade n funktionieren soll, oder verstehe ich etwas falsch?

Sorry, das war ein Irrtum meinerseits.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 So 01.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Man beweise durch vollständige Induktion, dass [mm](7)^n[/mm] -1
> ist durch 6 teilbar, für alle natürliche Zahl n.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>
>

> Induktionsanfang n=1.

>

> (7)^(1) -1 =6 und 6 ist durch 6 teilbar ( da es
> existiert ein k ∈ Z sodass 6= 6k, hier k=1 )

>

> Induktionsvoraussetzung

>

> wir nehmen an, dass 7^(n)−1 durch 6 teilbar ist für
> irgend ein n ∈N,
> d.h es existiert ein t ∈Z,sodass (7)^(n)−1=6t.

>

> Induktionsschluss
> Zu zeigen ist dass, 7^(n+1)−1 durch 6 teilbar ist, d.h
> es existiert ein t′∈Z sodass 7^(n+1)−1=6t′

>
>

> 7^(n+1)−1=7^(n)*7−1
> = (6t+1)*7−1 Ind.An: 7^(n)−1=6t
> => 7^(n)=
> 6t+1

>

> =(42t+6)
> =6(7t+1)
> =6t′ mit t′=7t+1 ∈Z.

>
>

> Passt das so?

Wie schon gesagt wurde, ist es richtig, jedoch in meinen Augen ziemlich umständlich. Ich würde den Beweis des Induktionsschlusses so hinschreiben:

[mm]\begin{aligned} 7^{n+1}-1&=7*7^n-1\\ &=(6+1)*7^n-1\\ &=6*7^n+(7^n-1) \end{aligned}[/mm]

Die Teilbarkeit durch 6 ist jetzt offensichtlich (der zweite Summand ist nach IV durch 6 teilbar). Und den Zwischenschritt könnte man auch noch weglassen, wenn es schnell gehen soll.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 So 01.10.2017
Autor: Fulla


> Wie schon gesagt wurde, ist es richtig, jedoch in meinen
> Augen ziemlich umständlich. Ich würde den Beweis des
> Induktionsschlusses so hinschreiben:

>

> [mm]\begin{aligned} 7^{n+1}-1&=7*7^n-1\\ &=(6+1)*(7^n-1)\\ &=6*(7^n-1)+(7^n-1) \end{aligned}[/mm]

Hallo Diophant,

die zweite und dritte Zeile stimmen so aber nicht... Richtig muss es heißen
[mm]7^{n+1}-1=(6+1)\cdot 7^n -1 = 6\cdot 7^n + (7^n -1)[/mm].

Lieben Gruß,
Fulla

> Die Teilbarkeit durch 6 ist jetzt offensichtlich (der
> zweite Summand ist nach IV durch 6 teilbar). Und den
> Zwischenschritt könnte man auch noch weglassen, wenn es
> schnell gehen soll.

>
>

> Gruß, Diophant


Bezug
                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 So 01.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> die zweite und dritte Zeile stimmen so aber nicht...
> Richtig muss es heißen
> [mm]7^{n+1}-1=(6+1)\cdot 7^n -1 = 6\cdot 7^n + (7^n -1)[/mm].

oh, vor lauter TeXen...

So war es auch gemeint und ist bereits ausgebessert. Danke für die Korrektur!

Gruß, Diophant

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]