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(vollständige)Ordnungsrelation: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Sa 29.04.2017
Autor: Olli1968

Aufgabe
[mm]R=\{(a,b)|a,b \in \IR,a

Hallo liebe Mathefreunde,
bei der Nachbearbeitung meiner Mathevorlesung zur "Linearen Algebra I" wollte ich die oben genannte Relation auf ihre Eigenschaften untersuchen und habe nun folgendes Problem.
Wir haben in der Vorlesung folgende Eigenschaften von Relationen besprochen:
a) Reflexivität, b) Symmetrie, c) Transitivität, d) Antisymmetrie und e) Konnex.
Wir haben noch definiert was wir unter einer
1) Ordnungsrelation (Halbordnung)  (sie ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv)
und einer
2) Totalordnung (sie ist Ordnungsrelation und zusätzlich Konnex)
verstehen wollen.
Aber mit diesen Eigenschaften kann ich doch eigentlich die "echt kleiner als" bzw. "echt größer als" doch gar nicht beschreiben, oder?

Jetzt hatte ich mir folgendes dazu überlegt:
[mm]R=\{(a,b)|a,b \in \IR,a a) irreflexiv, denn es gibt kein [mm] x \in \IR : x b) transitiv, denn für [mm]a,b,c \in \IR : a c) Konnex, denn für alle [mm]x \in \IR [/mm] gilt stets [mm] a d) asymmetrisch, denn falls [mm]a
wobei ich meine gelesen zu haben, dass die Asymmetrie sich aus der Irreflexivität und der Transitivität ableiten lassen soll (?!) und somit weggelassen werden kann?!
Wobei ich mir auch nicht so sicher bin, wie man Konnex richtig zeigen würde.

Aber dann wäre das nach unsere Vorlesung keine Ordnungsrelation bzw. Totalordnung - was ja eigentlich quatsch ist.

Kann mir hierbei jemand helfen?

Vielen lieben Dank
Olli

        
Bezug
(vollständige)Ordnungsrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Sa 29.04.2017
Autor: tobit09

Hallo Olli1968!


>  [mm]R=\{(a,b)|a,b \in \IR,a
>  a) irreflexiv, denn es gibt kein [mm]x \in \IR : x

Ja.


>  b)
> transitiv, denn für [mm]a,b,c \in \IR : a

Ja.


> c) Konnex, denn für alle [mm]x \in \IR[/mm] gilt stets [mm]a

Du meinst vermutlich:
"Konnex, denn für alle [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] mit [mm] $a\not=b$ [/mm] gilt stets [mm] $a Dann stimmt es.


> d) asymmetrisch, denn falls [mm]a

Ja.


> wobei ich meine gelesen zu haben, dass die Asymmetrie sich
> aus der Irreflexivität und der Transitivität ableiten
> lassen soll (?!) und somit weggelassen werden kann?!

Ja, denn:

Sei R eine irreflexive und transitive Relation auf einer Grundmenge M.
Dann wollen wir zeigen, dass R auch asymmetrisch ist.

Seien also [mm] $a,b\in [/mm] M$ mit [mm] $(a,b)\in [/mm] R$.
Zu zeigen ist [mm] $(b,a)\notin [/mm] R$.

Angenommen doch [mm] $(b,a)\in [/mm] R$.
Dann liefert die Transitivität wegen [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ und [mm] $(b,a)\in [/mm] R$ auch [mm] $(a,a)\in [/mm] R$.
Dies widerspricht jedoch der Irreflexivität von R.


>  Wobei ich mir auch nicht so sicher bin, wie man Konnex
> richtig zeigen würde.

Bei all diesen Eigenschaften gilt: Um sie ganz formal zu untersuchen, müsste man sich zunächst Gedanken über die Bedeutung von $a<b$ für [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] machen. Das ist jedoch Gegenstand der Analysis und nicht der linearen Algebra. Daher sollte es für die lineare Algebra genügen, naiv mit $a<b$ umzugehen, wie du es korrekt getan hast.


Es fehlt noch die Untersuchung auf Reflexivität, Symmetrie und Antisymmetrie.


> Aber dann wäre das nach unsere Vorlesung keine
> Ordnungsrelation bzw. Totalordnung - was ja eigentlich
> quatsch ist.

Wenn du dir überlegt hast, dass R nicht reflexiv ist, kannst du folgern, dass R keine Ordnungsrelation (und damit erst recht keine Totalordnung) im Sinne eurer Definition ist. Das ist korrekt!

Im Gegensatz dazu ist [mm] $\{(a,b)\;|\;a,b\in\IR, a\le b\}$ [/mm] sehr wohl eine Totalordnung auf [mm] $\IR$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
(vollständige)Ordnungsrelation: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 So 14.05.2017
Autor: Olli1968

Hallo tobit09

nochmals Vielen Dank für deine Antwort ...

Ich habe die Antworten heute noch mal nachgearbeitet und wollte mich nochmals nachträglich dafür bedanken.

LG Olli  :-)

Bezug
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