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Forum "Folgen und Grenzwerte" - (x/(x+1))^x limes
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(x/(x+1))^x limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:26 Do 23.01.2014
Autor: sinnlos123

Hi, wie kann ich den limes von:
[mm] (x/(x+1))^x [/mm]
berechnen OHNE ausprobieren?

ich weiss nicht wie das mit Bruechen geht :/
Obwohl der Bruch gegen 1 geht, geht der Term richtung ca. 0.36...

Ist ja auch erklaerbar, da der bruch immer unter 1 seins wird

        
Bezug
(x/(x+1))^x limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 Do 23.01.2014
Autor: fred97


> Hi, wie kann ich den limes von:
>  [mm](x/(x+1))^x[/mm]
>  berechnen OHNE ausprobieren?

Welcher Grenzübergang ist denn gegeben ? x [mm] \to [/mm] 0 oder x [mm] \to \infty [/mm] ?

>  
> ich weiss nicht wie das mit Bruechen geht :/
>  Obwohl der Bruch gegen 1 geht, geht der Term richtung ca.
> 0.36...

Aha ! Das sagt mir, das x [mm] \to \infty [/mm] gehen soll ! Woher hab ich das ?

Es ist

[mm] (\bruch{x}{x+1})^x=(1-\bruch{1}{x+1})^x=(1-\bruch{1}{x+1})^{x+1}*(1-\bruch{1}{x+1})^{-1} [/mm]

Hilft das ?

FRED


>  
> Ist ja auch erklaerbar, da der bruch immer unter 1 seins
> wird


Bezug
        
Bezug
(x/(x+1))^x limes: Alternativ
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Do 23.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Da du die Aufgabe unter Oberstufe (Klassen 11-13) gestellt hast,
will ich dir eine alternative Lösung zeigen.

Ihr habt sicher folgenden Grenzwert zur Verfügung:

      [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{z}{x})^x=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IR. [/mm]

Damit folgt:

      [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\frac{x}{x+1})^x=\limes_{x\rightarrow\infty}(\frac{1}{1+\frac{1}{x}})^x=\frac{1}{\limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x}=\frac{1}{e^1}=e^{-1} [/mm]


Gruß
DieAcht

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Bezug
(x/(x+1))^x limes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:52 Do 23.01.2014
Autor: sinnlos123

Hi,

ja DieAcht, diese Loesung sagt mir mehr :)
wir sind auch grad bei e angelangt mit genannter Gleichung.

Danke euch beiden!

(war nur ein 'privates' Problem)

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Bezug
(x/(x+1))^x limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:15 Sa 25.01.2014
Autor: sinnlos123

hi nochmal,

also ich moechte es nicht nur hinnehmen sondern verstehen, hab wohl letztens zu schnell druebergeguckt!

wie kommt man von
[mm] (x/(x+1))^x [/mm] auf [mm] (1/(1+1/x))^x [/mm] ?

da der exponent gleich ist:
x/(x+1)=1/(1+1/x) |*(x+1)
x=(x+1)/(1+1/x) |*(1+1/x)
x+1=x+1
-> korrekt
aber wie sieht man sowas 'schnell'?

Bezug
                                
Bezug
(x/(x+1))^x limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:17 Sa 25.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,

Einfach x ausklammern ;-)

DieAcht

Bezug
                                        
Bezug
(x/(x+1))^x limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:26 Sa 25.01.2014
Autor: sinnlos123

mmh, steh gerade aufm Schlauch :D

also wenn ich x ausklammer bei x/(1+x) :
x*(1/(1/x+1)

aber wo verschwindet das x jetzt? :O
die rechnung saehe dann ja so aus:
[mm] (x*(1/(1/x+1))^x [/mm]

oder mach ich was falsch?

Bezug
                                                
Bezug
(x/(x+1))^x limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:33 Sa 25.01.2014
Autor: DieAcht


> mmh, steh gerade aufm Schlauch :D
>  
> also wenn ich x ausklammer bei x/(1+x) :
>  x*(1/(1/x+1)

[notok]

> aber wo verschwindet das x jetzt? :O
>  die rechnung saehe dann ja so aus:
>  [mm](x*(1/(1/x+1))^x[/mm]
>  
> oder mach ich was falsch?

Es gilt:

      [mm] \frac{x}{x+1}=\frac{x}{x(1+\frac{1}{x})}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}} [/mm]


Wenn jetzt keine Glühbirne kommt, dann weiß ich auch nicht weiter :-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                                                        
Bezug
(x/(x+1))^x limes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:38 Sa 25.01.2014
Autor: sinnlos123

Achsoo, x ausklammern damit man es kuerzen kann.

dann hab ichs verstanden :)

Bezug
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