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y'=-xe^{y}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Do 01.02.2018
Autor: Ice-Man

Hallo,

ich habe bitte eine Frage zu folgender DGL.

[mm] y'=-xe^{y} [/mm]

Ich soll diese lösen bin mir aber nicht ganz sicher ob das richtig ist.
Vielleicht kann jemand bitte meinen Rechenweg überprüfen bzw. mir einen Tipp geben.

Danke

[mm] y'=-xe^{y} [/mm]


[mm] \bruch{dy}{dx}=-xe^{y} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{dy}{e^{y}}) dy}=\integral_{}^{}{-x dx} [/mm]

[mm] -e^{-y}+C=-\bruch{1}{2}x^{2}+C [/mm]

[mm] ln*-e^{-y}+c=ln*-\bruch{1}{2}x^{2}+C [/mm]

[mm] y=2ln(-\bruch{1}{2}x)+c [/mm]

        
Bezug
y'=-xe^{y}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Do 01.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

>

> ich habe bitte eine Frage zu folgender DGL.

>

> [mm]y'=-xe^{y}[/mm]

>

> Ich soll diese lösen bin mir aber nicht ganz sicher ob das
> richtig ist.
> Vielleicht kann jemand bitte meinen Rechenweg überprüfen
> bzw. mir einen Tipp geben.

>

> Danke

>

> [mm]y'=-xe^{y}[/mm]

>
>

> [mm]\bruch{dy}{dx}=-xe^{y}[/mm]

>

> [mm]\integral_{}^{}{f(\bruch{dy}{e^{y}}) dy}=\integral_{}^{}{-x dx}[/mm]

Also Trennung der Variablen ist hier genau der richtige Ansatz.

> [mm]-e^{-y}+C=-\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]

Das sollten hier zwei unterschiedliche Konstanten sein. Aber man kann die linke genauso gut auch weglassen (darauf läuft es ja sowieso hinaus).

Ab hier wird es falsch:

>

> [mm]ln*-e^{-y}+c=ln*-\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]

>

> [mm]y=2ln(-\bruch{1}{2}x)+c[/mm]

Du kannst keinen negativen Ausdruck logarithmieren. Also muss man erst einmal mit (-1) durchmultiplizieren. Danach wird logarithmiert, und da muss die Konstante natürlich in das Argument der Logarithmusfunktion und darf nicht außerhalb zu stehen kommen. Wo du die 2 vor dem Logarithmus herhast, ahne ich zwar, möchte es aber gar nicht so genau wissen. ;-)

So geht es richtig:

[mm]\begin{aligned} -e^{-y}&=-\frac{1}{2}x^2+c\ ;\ C=-c\Rightarrow\\ e^{-y}&=\frac{1}{2}x^2+C\\ -y&=ln\left(\frac{1}{2}x^2+C\right)\\ y&=-ln\left(\frac{1}{2}x^2+C\right)=ln\left( \frac{1}{\frac{1}{2}x^2+C}\right)=ln\left( \frac{2}{x^2+2C}\right) \end{aligned}[/mm]

wobei du die Konstante 2C ja jetzt wieder ersetzen kannst etwa mittels c=2C.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
y'=-xe^{y}: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:36 Do 01.02.2018
Autor: Diophant

Ein kleiner Nachtrag:

Die Schreibweise

[mm] \int{f\left(\frac{dy}{e^y}\right)} [/mm]

ist Unsinn. Der Integrand ist einfach

[mm] \frac{y}{e^y}=y*e^{-y} [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
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