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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - zur Abwechslung Geometrie
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zur Abwechslung Geometrie: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 20:48 Mo 20.09.2004
Autor: Sigrid

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Hanno sucht eine Aufgabe zur Geometrie. Wie wäre es mit der folgenden. Sie wurde bei der 2. IMO-Auswahlklausur 1998 gestellt.

Man beweise: In einem Dreieck ABC sind die Aussagen
[mm]\alpha[/mm] = 2[mm]\beta [/mm]   und    [mm] a^2 [/mm] = b(b+c)  
äquivalent.

Ran ans Vergnügen
Gruß Sigrid

        
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zur Abwechslung Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Mo 20.09.2004
Autor: zwieback86

hallo Storch,

ich werde bei dieser Aufgabe gleich ausscheiden, da ich Geometrie garnicht kann. Würde mich freuen wenn auch Aufgaben auf dem Kreis oder Schulniveau gestellt werden können, denn ich habe darin überhaupt keine Kenntnisse. VIelen Dank, wenn jemand da eine gute kennt.

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zur Abwechslung Geometrie: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:11 Mo 20.09.2004
Autor: Teletubyyy

Hi Leute

Ich wollte einfach mal meine ersten Gedanken zu dieser Aufgabe posten:
Und zwar habe ich versucht das Problem trigonometrisch anzugehen.
also es gilt nach Aufgabenstellung [mm] a^2=b^2+bc [/mm]
Ergänzen wir dies durch den Kosinussatz:
[mm]a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha = b^2+bc \gdw c= b+2b\cos\alpha[/mm]
oder man nimmt den Kosinussatz mal auf diese Weiße:
[mm]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta =a^2-bc \gdw bc+b = 2a\cos\beta[/mm]
Jetzt könnte man vieleicht c substituieren und nach b auflösen oder ...
Ich hab jetzt jedenfalls keine Zeit mich damit zu beschäftigen (Hausaufgaben!!!;-))
Gruß Samuel

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zur Abwechslung Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:13 Di 21.09.2004
Autor: Leopold_Gast

Das mit dem Cosinus-Satz ist doch gar keine schlechte Idee.

Man wendet auf die Winkelbeziehung auf beiden Seiten den Cosinus an, verwendet das Cosinus-Theorem für den doppelten Winkel (Variante mit 2cos²b-1). Indem man nun die Terme des Cosinus-Satzes einsetzt, erhält man eine Beziehung zwischen a,b,c. Das muß die gesuchte Beziehung sein. Nur enthält sie überflüssige Faktoren. Es ist jetzt also eine Frage der Algebra, diese zu finden und abzuspalten.

Das ist meiner Meinung nach überhaupt keine richtige Geometrie-Aufgabe, sondern eine Algebra-Aufgabe, die sich geometrisch verkleidet hat.

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zur Abwechslung Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:43 Di 21.09.2004
Autor: Sigrid

Hallo,

Es gibt zwar wohl auch eine Lösung mit Hilfe der trigonometr. Funktionen.
Aber so schnell lasse ich euch nicht raus. Es gibt auch einen eindeutig geometrischen Lösungsweg.

Gruß Sigrid

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zur Abwechslung Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 Di 21.09.2004
Autor: Stefan

Liebe Sigrid!

Ich finde es wirklich toll von dir (ich hoffe ich darf dich trotz des Altersunterschieds duzen, aber wir duzen uns ja alle hier ;-)), dass du dich hier im Wettbewerbs-Forum (und auch sonst im Matheraum)beteiligst. Hast du als erfahrene Lehrerin eigentlich Erfahrung mit der Betreuung von Schülern vor und bei Mathe-Wettbewerben? Wenn ja, vielleicht kannst du den Jungs (sind ja leider keine Mädels dabei) ein paar Tipps geben?

Liebe Grüße
Stefan

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zur Abwechslung Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 Di 21.09.2004
Autor: Sigrid

Hallo Stefan,

ich habe nur Erfahrungen mit der Vorbereitung zu Mathewettbewerben bei jüngeren Schülern.
Ansonsten habe ich eine Reihe von Aufgaben, die meisten zum Glück mit Lösungen.
Gruß Sigrid

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zur Abwechslung Geometrie: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:23 Sa 25.09.2004
Autor: Clemens

Hallo Sigrid!

Ich versuche mal, eine rein geometrische Lösung (zumindest für eine Richtung) zu liefern.

Behauptung: Wenn  [mm] \alpha [/mm] = 2 [mm] \beta, [/mm] dann [mm] a^{2} [/mm] = b(b + c)

Beweis:
Man zeichne die Winkelhalbierende vom Punkt A aus und nenne den Schnittpunkt dieser Winkelhalbierenden mit der Seite a "P". Nun definiere ich:

[mm] a_{1} [/mm] := |PB|
[mm] a_{2} [/mm] := |PC|
x := |AP|

Das Dreieck ABP ist gleichschenklig, da die Winkel bei A und B gleich sind. Daraus folgt:

(I)   x = [mm] a_{1} [/mm]

Das Dreieck APC hat die Innenwinkel [mm] \beta [/mm] bei A, 180° - [mm] 3\beta [/mm] bei C (da die Summe der Innenwinkel im Dreieck ABC natürlich 180° sein muss) und [mm] 2\beta [/mm] bei P (da die Summe der Innenwinkel im Dreieck APC 180° sein muss). Daher ist das Dreieck APC ähnlich zu dem Dreieck ABC und daraus folgt:

(II)    [mm] \bruch{x}{a_{2}} [/mm] =  [mm] \bruch{a_{1}}{a_{2}} [/mm] =  [mm] \bruch{c}{b} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] \bruch{b*a_{1}}{a_{2}} [/mm]
(III)  [mm] \bruch{x}{b} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}}{b} [/mm] = [mm] \bruch{c}{a} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] \bruch{a*a_{1}}{b} [/mm]

(II)  [mm] \wedge [/mm] (III) [mm] \Rightarrow [/mm] (IV):
b =  [mm] \wurzel{a*a_{2}} [/mm]
c = [mm] a_{1}*\wurzel{\bruch{a}{a_{2}}} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] b(b + c) = [mm] b^{2} [/mm] + bc = [mm] a*a_{2} [/mm] + [mm] a*a_{1} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm]

Zum "Rückweg":
Anstatt von [mm] a^{2} [/mm] = b(b + c) auszugehen und daraus die Beziehung zwischen den Winkeln zu folgern, kann man auch einfach [mm] \alpha \not= \beta [/mm] annehmen und dann (vielleicht ? / hoffentlich?) analog zum obigen Beweis zeigen, dass [mm] a^{2} \not= [/mm] b(b+c).

Gruß Clemens

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zur Abwechslung Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 So 26.09.2004
Autor: Sigrid

Hallo Clemens,
prima, ich denke, damit ist der erste Teil erledigt. Die Musterlösung geht übrigens ähnlich vor, nur wird der Winkel ß verdoppelt , indem die Gerade BC an der Geraden AB gespiegelt wird.
Deine Überlegungen zurm "Rückweg" habe ich noch nicht durchgeprüft, bin deshalb noch skeptisch.
Gruß Sigrid

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zur Abwechslung Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Do 30.09.2004
Autor: Stefan

Liebe Sigrid!

Könntest du bitte die Musterlösung zu dieser Aufgabe hier reinstellen? Denn sie geht sonst halb gelöst in den Tiefen der Threads verloren...

Danke! :-)

Liebe Grüße
Stefan

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zur Abwechslung Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Mi 06.10.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Nachdem Sigrid sich nicht mehr meldet, poste ich hier mal meine Lösung.

Zur Veranschaulichung zeichne sich mal jeder ein Dreieck in 'Standardlage',
d.h. Seite c unten waagerecht, links die Ecke A, rechts die Ecke B.
Die 'Spitze' C soll so liegen, dass [mm] \alpha>\beta. [/mm]

Wir Verdoppeln von AB aus den Winkel [mm] \beta [/mm] und bezeichnen den Schnitt des neuen Schenkels von [mm] 2\beta [/mm] mit der inneren Winkelhalbierenden von [mm] \alpha [/mm] als Punkt D, den [mm]Winkel(BDA)[/mm] nennen wir [mm] \delta [/mm] in Analogie zum Winkel [mm] \gamma [/mm] bei C; die Länge der Strecke CD heiße d.

z.zg.: [mm]\alpha=2\beta\ \Rightarrow\ a^2-b^2=bc[/mm]

[mm]\alpha=2\beta[/mm]
[mm]\Rightarrow\ Winkel(ABD)=Winkel(CAB)[/mm] und [mm]\overline{AC}=\overline{BD}=b[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] das Viereck ABDC ist ein symmetrisches Trapez
Die Höhe des Trapezes sei h.
[mm]\Rightarrow\ a^2=h^2+(\frac{c+d}{2})^2,\ b^2=h^2+(\frac{c-d}{2})^2[/mm]
[mm]\Rightarrow\ a^2-b^2=cd[/mm]
Es bleibt also zu zeigen dass auch b=d, aber das ist kein Problem, denn
[mm]AB\parallel CD\ \Rightarrow\ Winkel(ZDC)=Winkel(DCZ)=\beta[/mm]
[mm]\Delta ADC,\ \Delta BDC[/mm] sind gleichschenklig.

z.zg.: die umgekehrte Richtung

Betrachten wir dazu ein symmetrisches Trapez mit drei gleichen Seiten b, die vierte habe die Länge c. Beide Diagonalen sind gleichlang und ihre Länge sei a. Hier gilt [mm]a^2-b^2=bc[/mm]. Den [mm]Winkel(DBC)[/mm] nennen wir 'der Einfachheit halber' [mm] \beta. [/mm]
Das Dreieck ADC ist gleichschenklig und somit [mm]Winkel(CDA)=Winkel(DAC)[/mm].
Wegen der Symmetrie folgt: [mm]Winkel(BCD)=Winkel(CDA)=Winkel(DAC)=\beta[/mm].
Da ja [mm]AB\parallel CD[/mm] sind auch [mm]Winkel(BAD)=Winkel(CBA)=\beta[/mm],
womit gezeigt ist, dass im Dreieck ABC
[mm]Winkel(BAC)=2\cdot Winkel(ABC)[/mm]



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zur Abwechslung Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Do 07.10.2004
Autor: Stefan

Lieber Hugo!

Vielen Dank für deine tolle Lösung. :-)

Ich konnte sie mit viel Mühe nachvollziehen. Die "viele Mühe" liegt aber nicht an deinen Erklärungen, sondern an meinen fehlenden Geometriekenntnissen. ;-)

Die Hinrichtung ist mir vollkommen klar, bei der Rückrichtung war mir nicht ganz klar, warum man das Dreieck $ABC$ direkt zu dem symmetrischen Trapez mit $d=b$ erweitern darf, wenn man nur die Bedingung [mm] $a^2-b^2=bc$ [/mm] zur Verfügung hat. Ich habe es mir jetzt mühsam klargemacht, über die Beziehung

$b [mm] \cdot [/mm] c [mm] \stackrel{!}{=} a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = [mm] q^2 [/mm] - [mm] p^2 [/mm] = (q-p) [mm] \cdot [/mm] c$,

also: $b=q-p$, woraus wegen $d=q-p$ die Beziehung $b=d$ folgt. Sind also die Argumente aus der Hinrichtung.

War vermutlich alles klar, aber solche Dinge muss ich mir erst mühsam herleiten. ;-)

Auf jeden Fall vielen Dank, ich betrachte die Aufgabe jetzt als erledigt! :-)

Liebe Grüße
Stefan

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zur Abwechslung Geometrie: eine letzte Anmerkung noch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Do 07.10.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Stefans Mitteilung hat mich darauf gebracht, dass die Beweisidee vielleicht zu wenig rauskommt.

Der Beweis stützt sich darauf, dass beim Erweitern des Dreiecks ABC zu einem Viereck sowohl die Angabe [mm] \alpha=2\beta [/mm] als auch die Angabe [mm] a^2=b(b+c) [/mm] auf das selbe symmetrische Trapez führen.

Die angegebenen Aussagen sind beide äquivalent zur Aussage
'Das entstehende Viereck ist ein symmetrisches Trapez'.

Aus der Transitivität von Äquivalenzen folgt das Gewünschte.

Ich hoffe, den Beweis kann jetzt jeder nachvollziehen, auch Leute mit noch geringeren Geometriekenntnissen ;-)

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Bezug
zur Abwechslung Geometrie: eine letzte Anmerkung noch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Do 07.10.2004
Autor: Stefan

Lieber Hugo!

Deine Beweisidee war mir klar, die hatte ich so verstanden. Aber die (Rück-)Richtung, wie man also aus der algebraischen Gleichung darauf kommt, dass das entstehende Viereck ein symmetrisches Trapez ist, war sicherlich aus deiner Sicht einfach und für die meisten hier nachvollziehbar aufgeschrieben, aber die Erklärung war für meine bescheidenen Fähigkeiten zu knapp, so dass ich mir erst einiges herleiten musste. (Das ist nicht (!) ironisch gemeint, es ist einfach so. :-))

Liebe Grüße
Stefan

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zur Abwechslung Geometrie: Musterlösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 Fr 08.10.2004
Autor: Sigrid

Hallo Hugo,
Sorry, dass ich mich erst jetzt melde.
Gratuliere zur Lösung.Ich habe keinen Haken gefunden, wenn auch die Lösungsdarstellung nicht unbedingt "wettbewerbsreif" ist.
Trotzdem will ich doch noch die Lösungsidee der Musterlösung einbringen. Sie ist supereinfach.

Die Gleichung [mm] a^2=b^2+bc [/mm] wird umgestellt in

[mm]\bruch{a} {b+c}=\bruch{b}{a}[/mm]

d.h. man nimmt zwei ähnliche Dreiecke: das gegebene und eines mit den Seiten a und b+c (Der Winkel [mm]\gamma[/mm] ist gemeinsamer Winkel)). Der Rest ist dann einfach.
Ich kann noch Geometrieaufgaben aus bisherigen Mathe-Olympiaden liefern.
Gruß Sigrid

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Bezug
zur Abwechslung Geometrie: Musterlösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Fr 08.10.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Sigrid,

kannst du mal diese Lösung schicken, ich bin nämlich auf diese Weise nicht zum Ziel gekommen, obwohl ich mir mein Hirn ziemlich verknotet habe.

Hugo

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Bezug
zur Abwechslung Geometrie: Musterlösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:26 Fr 08.10.2004
Autor: Stefan

Hallo zusammen!

Stellt doch die Lösung dann bitte ins Forum. Ich weiß, wie viel Arbeit das ist, weil ich das selber schon oft genug gemacht habe, aber es gibt nun mal auch andere, die daran interessiert sind (z.B. ich). ;-)

Um reinzukommen in die Materie, reicht mir im Moment nicht der Ansatz. Ich müsste erst einmal ein paar ausführliche Lösungen sehen, damit ich Ideen und eine Intuition entwickele. Das erhoffe ich auch durch meine Tutorials zu erreichen, die ich nachher weiterschreibe und zu denen es dann auch Aufgaben (mit Diskussion und Musterlösungen) gibt. :-)

Liebe Grüße
Stefan

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Bezug
zur Abwechslung Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Sa 09.10.2004
Autor: Sigrid

Hallo Hugo, hallo Stefan

tut mir leid, ich hätte die Konstruktion sorgfältiger angeben sollen.
Jetzt die Lösung für die "Rückrichtung". Der erste Teil wurde ja schon von Clemens ähnlich der Musterlösung gelöst.

Man zeichnet das Dreieck ABC und verlängert die Seite b über A hinaus um die Länge c. Man erhält so ein zweites Dreieck DBC.
Nach Voraussetzung gilt

[mm]\bruch{a}{b+c}=\bruch{b}{a}[/mm]
Der Winkel [mm]\gamma[/mm] gehört zu beiden Dreiecken.
Damit sind die Dreiecke ABC und BCD ähnlich.

daraus folgt Winkel CDB = Winkel ABC = [mm]\beta[/mm]  und
              Winkel DBC= Winkel BAC = [mm]\alpha[/mm]

Außerdem ist das Dreieck DBA gleichschenklig,
also ist der Winkel DBA = Winkel ADB = [mm]\beta[/mm]

also ist  Winkel DBC = [mm]\alpha = 2 \beta[/mm]

Das wars.

Da auch ich wenig Übung in der Geometrie habe (in der Schule wird sie immer mehr verdrängt) würde ich hier noch gerne weiter machen. Ich finde es spannend, zu sehen, wie viele völlig verschiedene Lösungswege es gibt. Eine Möglichkeit wäre , die verschiedenen Geometrieaufgaben der Mathe-Olympiaden durchzugehen (z.B. ab Klasse 9 oder 10)

Gruß Sigrid

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Bezug
zur Abwechslung Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:26 Sa 09.10.2004
Autor: Stefan

Liebe Sigrid!

Vielen lieben Dank für die schöne Lösung, die ich dieses Mal ohne Problem nachvollziehen konnte. :-)

Wir machen auf jeden Fall weiter Geometrie, ich werde auch Aufgaben posten und Lehrtexte. Du kannst aber auch gerne Aufgaben stellen, ich habe hier keine Alleinherrschaft über das Wettbewerbsforum. ;-)

Liebe Grüße
Stefan

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