matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, Körperzyklische Untergruppe sa+tb
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - zyklische Untergruppe sa+tb
zyklische Untergruppe sa+tb < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

zyklische Untergruppe sa+tb: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Mi 11.11.2015
Autor: dodo1924

Aufgabe
Seien [mm] a,b\in\IN. [/mm] Zeige, dass U={ [mm] sa+tb|s,t\in\IZ [/mm] } eine zyklische Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] ist. Bestimme ein erzeugendes Element von U. Verifiziere dies für a=10 und b=6.

Hi.

Also, das mit der Untergruppe hätte ich schon mal folgend gezeigt:
[mm] \IZ [/mm] ist ja zyklisch
also
[mm] \exists U_a\le\IZ [/mm] : [mm] U_a=a*\IZ= [/mm]
[mm] \exists U_b\le\IZ [/mm] : [mm] U_b=b*\IZ= [/mm]

also wäre [mm] U=U_a+U_b, [/mm] nicht?

nun habe ich mit den Untergruppenkriterien gezeigt, dass U eine Untergruppe ist:
für [mm] a,b\inU [/mm] gilt
[mm] (a*s_1+b*t_1)+(a*s_2+b*t_2)=a*(s_1+s_2)+b*(t_1+t_2) [/mm]
also a+b [mm] \in [/mm] U

0 [mm] \in [/mm] U, da a*0+b*0=0
(as+bt)+(a(-s)+b(-t)) = 0
also existiert auch das Inverse
also ist U eine Gruppe

nun gilt ja, dass weil [mm] \IZ [/mm] zyklisch ist, auch U zyklisch sein muss
also ist U eine zyklische Untergruppe

richtig bis hierhin?
kann ich das auch anderswie beweisen?

wie kann ich nun das erzeugende Element bestimmen?
intuitiv würd ich ja sagen, dass es der ggt sein muss....bin mir aber nicht sicher ^^

Danke schonmal für die Hilfe :)

        
Bezug
zyklische Untergruppe sa+tb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Mi 11.11.2015
Autor: UniversellesObjekt

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

wenn du bereits weißt, dass Untergruppen zyklischer Gruppen wieder zyklisch sind, ist die Aufgabe natürlich langweilig^^ aber alles, was du schreibst ist richtig.

Beachte, dass die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich der Teilbarkeitsrelation eine geordnete Menge ist: $a\le b\iff a\mid b$. Das Element $\ggT(a,b)$ ist dasselbe wie ein Infimum von $\{a,b\}$ bezüglich dieser Ordnung. Die Infimum-Eigenschaft sagt ja in diesem Fall: Der größte gemeinsame Teiler teilt sowohl $a$ und $b$ und jeder andere gemeinsame Teiler teilt bereits den größten gemeinsamen Teiler.

Die Menge der Untergruppen von $\IZ$ mit $a\in\IN$ ist durch umgekehrte Inklusion geordnet: $G\le H\iff G\supseteq H$. Zeige, dass die Summe $G+H$ ein Infimum von $\{G,H\}$ ist. Die Inifmum-Eigenschaft besagt in diesem Fall: Die Summe enthält $G$ und $H$ und jede andere Untergruppe, welche $G$ und $H$ enthält, enthält bereits die Summe.

Außerdem ist die Abbildung $\IN\longrightarrow\{\text{Untergruppen von }\IZ}\}$, $a\longmapsto a\IZ$ ein Ordnungsisomorphismus. Hieraus folgt alles.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]