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Faktorhalbgruppe
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Faktorhalbgruppe

Definition Faktorhalbgruppe


Schule


Universität

Es sei $ (H, \circ) $ eine Halbgruppe und $ R $ eine verträgliche Äquivalenzrelation auf $ (H, \circ) $. Dann ist die Menge der Äquivalenzklassen

$ H/R=\{[a]_R\, \vert\, a \in H\} $

zusammen mit der durch

$ [a]_R \circ [b]_R := [a \circ b]_R $

definierten Verknüpfung eine Halbgruppe.

Man nennt diese Halbgruppe $ (H/R,\circ) $ die Faktorhalbgruppe (oder Restklassenhalbgruppe) von $ H $ nach $ R $ (oder von $ H $ modulo $ R $).


Bemerkung

Es hat sich als sehr zweckmäßig erwiesen, für die Verknüpfungen in $ H $ und die dadurch induzierte Verknüpfung in $ H/R $ dieselben Zeichen zu verwenden.


Beispiel

Im Bereich $ \IZ $ der ganzen Zahlen kennen wir die Division mit Rest; d.h. zu $ m,\, n \in \IZ $, $ n>0 $, gibt es eindeutig bestimmte $ q,\, r \in \IZ $ mit

$ m=qn+r $  und  $ 0 \le r < n $.

($ r $ heißt der Rest.)

Zu $ n \in \IN $ erklären wir eine Relation $ R_n \subseteq \IZ \times \IZ $ durch

$ (x,y) \in R_n \ : \Leftrightarrow \ x,y $ haben bei Division durch $ n $ den gleichen Rest.

Wie man sieht, ist $ R_n $ eine Äquivalenzrelation auf $ \IZ $. Anstatt $ (x,y) \in R_n $ schreibt man üblicherweise

(*) $ x \equiv y \pmod{n} \ \Leftrightarrow \ x-y \in n\IZ $.

Denn haben $ x $ und $ y $ bei Division durch $ n $ den gleichen Rest, dann ist $ x-y $ ein Vielfaches von $ n $. Gilt andererseits $ x=qn+r $ und $ y=q'n+r' $ mit $ 0 \le r,r' < n $ und $ x-y \in n\IZ $, dann ist auch $ r-r' \in n\IZ $, das geht wegen der Einschränkung $ 0 \le r,r' < n $ nur für $ r=r' $, also $ x \equiv y \pmod{n} $.

Nun wird gezeigt, dass die Relation "kongruent modulo $ n $" mit $ + $ und $ \cdot $ auf $ \IZ $ verträglich ist:

Dafür sei $ x \equiv y \pmod{n} $ und $ m \in \IZ $. Wegen (*) ist dann

$ mx-my \in n(m\IZ) \subseteq n\IZ $,

also:

$ mx \equiv my \pmod{n} $.

Außerdem gilt trivialerweise

$ (x+m) - (y+m) = x-y \in n\IZ $,

also auch:

$ x+m \equiv y+m \pmod{n} $.

Das zeigt bereits die Verträglichkeit mit $ + $ und $ \cdot $.

Sei $ \bar{x} $ die Äquivalenzklasse $ \pmod{n} $ von $ x \in \IZ $, in diesem Fall Restklasse modulo $ n $ genannt:

$ \bar{x} = \{y' \, \vert \, y-x \in n\IZ\} = \{x+nm\, \vert\, m \in \IZ\} = x+n\IZ $.

Die Menge der Restklassen wir mit $ \IZ_n $ bezeichnet. Da jede Klasse zu genau einem Rest gehört, haben wir

$ \IZ_n=\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\} $.

Beachte: $ \overline{n} =\overline{0} $, $ \overline{n+1} = \overline{1} $, etc.

Wegen der Veträglichkeit der Äquivalenzrelationen mit $ + $ und $ \cdot $ haben wir in kanonischer Weise auf $ \IZ_n $ die Verknüpfungen $ + $ und $ \cdot $ erklärt, nämlich

$ \overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y} $

und

$ \overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{x \cdot y} $,

und $ (\IZ_n,+) $, $ (\IZ_n,\cdot) $ sind Halbgruppen.


Quelle: K. Meyberg, Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9

Erstellt: So 31.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: So 31.07.2005 um 21:28 von Stefan
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