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Moivre-Formel
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Moivre-Formel

Moivre-Formel


Sowohl hohe Potenzen $ z^n $ als auch Wurzeln $ \wurzel[n]{z} $ von komplexen Zahlen $ z \ = \ x+y\cdot{}i $ (mit $ x,y\in\IR $) können mit Hilfe der "Moivre-Formel" berechnet werden.





$ z^n \ = \ r^n\cdot{}\left[\cos\left(n\cdot{}\varphi\right)+\sin\left(n\cdot{}\varphi\right)\cdot{}i\right] $



$ \wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $




Dabei gilt hier für $ z \ = \ x+i\cdot{}y $ :

$ |z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2} $   sowie   $ \tan(\varphi) \ = \ \bruch{y}{x} $

Für den Winkel $ \varphi $ ist auch noch der jeweilige Quadrant in der Gauß'schen Zahlenebene zu berücksichtigen (siehe dazu auch: komplexe Zahlen)



Beispiele

$ z^n=a\quad mit\quad a\in\IC $



Beipiel 1


Berechnung aller Lösungen von $ z^3=1 $


Zuerst brauchen wir für die Zahl $ a=\green{x}+\blue{y}i $ eine Darstellung der Form $ a=r\cdot{}(\cos(\red{\varphi})+\sin(\red{\varphi})\cdot{}i) $

$ r $ ist der Betrag der komplexen Zahl a und errechnet sich durch $ |a|=r=\wurzel{\green{x}^2+\blue{y}^2} $

Unsere Zahl $ a=\green{1}+\blue{0}i $ hat also den Betrag $ |a|=\wurzel{1^2+0^2}=1 $


Der Winkel $ \varphi $ berechnet sich aus $ \tan(\varphi)=\bruch{\blue{y}}{\green{x}} $ (Anm: wobei hier immer darauf geachtet werden muss, in welchem Quadranten unsere komplexe Zahl zu finden ist - d.h. er muss ggf. mit dem Wert  $ \pm\pi $  ergänzt werden).

Hier ist $ \tan{\varphi}=\bruch{\blue{0}}{\green{1}}=0\quad \Rightarrow\quad \varphi=\arctan(0)=\red{0} $


Damit habe wir schon alles, was wir für die Moivre-Formel benötigen

$ \wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $



Rechnungen:

$ z_1=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+0\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=1}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+0\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=0}\cdot{}i\right]=1 $

$ z_2=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+1\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+1\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=\bruch{\wurzel{3}}{2}}\cdot{}i\right]=-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i $

$ z_3=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{\wurzel{3}}{2}}\cdot{}i\right]=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i $







Beispiel 2


Berechnung aller Lösungen von $ z^4=-5-26i $


Zuerst brauchen wir für die Zahl $ a=\green{x}+\blue{y}i $ eine Darstellung der Form $ a=r\cdot{}(\cos(\red{\varphi})+\sin(\red{\varphi})\cdot{}i) $

$ r $ ist der Betrag der komplexen Zahl a und errechnet sich durch $ |a|=r=\wurzel{\green{x}^2+\blue{y}^2} $

Unsere Zahl $ a=\green{-5}+\blue{-26}i $ hat also den Betrag $ |a|=\wurzel{(-5)^2+(-26)^2}=\sqrt{701} $


Der Winkel $ \varphi $ berechnet sich aus $ \tan(\varphi)=\bruch{\blue{y}}{\green{x}} $ (Anm: wobei hier immer darauf geachtet werden muss, in welchem Quadranten unsere komplexe Zahl zu finden ist - d.h. er muss ggf. mit dem Wert  $ \pm\pi $  ergänzt werden). Wir befinden uns im 3. Quadranten und benötigen daher die Erweiterung mit $ \pi $, um auf den Hauptwert zu kommen.

Hier ist $ \tan{(\varphi+\pi)}=\bruch{\blue{-26}}{\green{-5}}\quad \Rightarrow\quad \varphi=\arctan\left(\frac{-26}{-5}\right)-\pi\approx\red{-1,76} $


Damit habe wir schon alles, was wir für die Moivre-Formel benötigen


$ \wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $



Rechnungen:

Mit $ \sqrt[4]{\sqrt{k}}=\sqrt[8]{k} $ folgen u.a. Lösungen


$ z_1\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+0\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+0\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx 2,052-0,966\cdot{}i $

$ z_2\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+1\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+1\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx 0,966+2,052\cdot{}i $

$ z_3\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+2\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+2\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx -2,052+0,966\cdot{}i $

$ z_4\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+3\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+3\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx -0,966-2,052\cdot{}i $








Erstellt: Mi 11.06.2008 von Loddar
Letzte Änderung: So 25.05.2014 um 15:55 von Herby
Weitere Autoren: Lustique
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