matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMonotonieuntersuchung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Monotonieuntersuchung
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Monotonieuntersuchung

Wie untersuche ich die Monotonie einer Funktion?

Gib das Monotonieverhalten der Funktion f in Abhängigkeit von den Parametern a, b (ungleich 0) an.

a) f(x)= $ a\cdot{}x^n $
b) $ f(x)=\bruch{a}{x} $
c) $ f(x)=a\cdot{}\wurzel{x}+x $
d) $ f(x)=a\cdot{}\wurzel{x}+\bruch{b}{x} $

Monoton steigend in einem bestimmten Intervall ist eine Funktion genau dann, wenn ihre erste Ableitung in diesem Intervall größer gleich Null ist.
Analog dazu ist sie in einem Intervall genau dann monoton fallend, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall nur Werte kleiner gleich Null annimmt.
Du musst also die Ableitungen der dir gegebenen Funktionen bestimmen und prüfen, wann diese positiv und wann negativ sind.
Dabei musst du das Ganze in Abhängigkeit von a durchführen.

Ich zeige dir mal an der ersten Funktion, wie das funktioniert.

Es ist $ f:\IR\to\IR $ $ x\mapsto a\cdot x^n $ (ich nehme im Folgenden $ n\in\IN $ an).
Dann ist $ f'(x)=n\cdot a\cdot x^{n-1} $. So, für $ x\geq 0 $ ist $ x^{n-1}\geq 0 $.
Ist zudem $ a\geq 0 $, so folgt $ f'(x)\geq 0 $ für alle $ x\geq 0 $.
Die Funktion ist also für $ x,a\geq 0 $ im Intervall $ [0,\infty) $ monoton steigend.
Ist hingegen $ a\leq 0, x\geq 0 $, so folgt $ n\cdot a\cdot x^{n-1}\leq 0 $, die Funktion ist also im Intervall $ [0,\infty) $ monoton fallend.

Betrachten wir nun diejenigen $ x\in\IR $ mit $ x\leq 0 $ und nehmen wir an, n sei ungerade, n-1 daher gerade.
Dann ist $ x^{n-1}\geq 0 $ und, wie vorher, die Funktion f für $ a\geq 0 $ im Intervall $ (-\infty,0] $ streng monoton steigend, für $ a\leq 0 $ im Intervall $ (-\infty,0] $ streng monoton fallend.

Ist hingegen n gerade und damit n-1 ungerade, so ist für $ x\leq 0 $ auch $ x^{n-1}\leq 0 $; dann ist f für $ a\leq 0 $ im Intervall $ (-\infty,0] $ monoton steigend, denn es ist $ n\cdot a\cdot x^{n-1}\geq 0 $ (denn es ist $ a,x\leq 0 $ und n-1 ungerade), für $ a\geq 0 $ jedoch im Intervall $ (-\infty,0] $ monoton fallend, denn dann ist $ n\cdot a\cdot x^{n-1}\leq 0 $ (denn es ist $ a\geq 0, x\leq 0 $).

Für die anderen Funktionen sollte man selbst versuchen, die analogen Überlegungen anzustellen.
Bei Fragen kann man den [link]Matheraum befragen.

Letzte Änderung: Sa 21.05.2005 um 15:25 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]