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Polynom
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Polynom

Definition Polynom

In der Mathematik ist ein Polynom eine Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen, die in den meisten Fällen mit x bezeichnet wird:
für $ n\ge0 $, $ a_n \not= 0 $ und $ a_i \in R $:

$ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0 $

oder kürzer:
$ \summe_{i=0}^{n}a_i\cdot{}x_i $

Dabei nennt man x die Variable, die reellen Zahlen $ a_i $ vor den Variablen die Koeffizienten des Polynoms und n den Grad des Polynoms.


Beispiele

Polynome kommen in einfachster Form schon bei den linearen Funktionen vor:

f(x)=3x+4

Wähle $ a_1=3 $ und $ a_0=4 $, dann gilt: Polynom vom Grad 1:
$ f(x)=a_1\cdot{}x^1+a_0 $

Auch eine quadratische Funktion schreibt man als Polynom vom Grad 2:

$ f(x)=5x^2+3x^1+7 $

Alle ganzrationalen Funktionen haben ein Polynom als Funktionsterm:

$ f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_1x+a_0 $

Jede Zahl des Dezimalsystems lässt sich in Form eines Polynoms mit x=10 schreiben:

$ 16438=1\cdot{}10^4+6\cdot{}10^3+4\cdot{}10^2+3\cdot{}10^1+8 $


Rechnen mit Polynomen

Die Addition, Subtraktion und Multiplikation zweier Polynome ergibt jeweils wieder ein Polynom:

$ f(x)=3x^1+4$ \text{ und } $g(x)=5x^2+7x-3 $
$ \Rightarrow$ $f(x)+g(x)=(3x^1+4)+(5x^2+7x-3)=5x^2+10x+1 $

Die Division zweier Polynome wird nicht immer "aufgehen", es könnte ein "Rest" bleiben.
Dieses untersucht man mit der Polynomdivision.

Erstellt: Mi 01.10.2008 von informix
Letzte Änderung: Mi 01.10.2008 um 22:37 von informix
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