matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseiteliminf
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
liminf
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

liminf

Definition lim inf ("Limes inferior") und lim sup ("Limes superior")


Universität

Sei $ (x_n)_{n\in\IN} $ eine Folge. Die Menge H der Häufungspunkte von $ (x_n) $ sei beschränkt und nichtleer.

Das kleinste Element der Menge H heißt Limes inferior, $ \liminf x_n=\inf H $.
Das größte Element der Menge H heißt Limes superior, $ \limsup x_n=\sup H $.

Als alternative Definitionen eignen sich die gekennzeichneten Sätze.


Wichtige Sätze zu Limes inferior und Limes superior


Satz Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt einen Limes inferior und einen Limes superior.

(1), Satz 4.G.15


Satz (alternative Definition von liminf und limsup) Sei $ (x_n) $ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann ist
$ \limsup x_n=\limes_{n\to\infty}(\operatorname{Sup}\{x_n\ |\ m\ge n\}) $
$ \liminf x_n=\limes_{n\to\infty}(\operatorname{Inf}\{x_n\ |\ m\ge n\}) $

(1), Aufgabe 13 in 4.G


Satz  (alternative Definition von liminf und limsup) Sei $ (x_n) $ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann ist
$ \limsup x_n=\operatorname{Inf}\{x\in\IR\ |\ x\ge x_n \mbox{ für fast alle } n\} $
$ \liminf x_n=\operatorname{Sup}\{x\in\IR\ |\ x\le x_n \mbox{ für fast alle } n\} $

(1), Aufgabe 14 in 4.G


Satz  (alternative Definition von liminf und limsup) Sei $ (x_n) $ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann ist
$ \limsup x_n=\operatorname{Sup }\{x\in\IR\ |\ x\le x_n \mbox{ für unendlich viele } n\} $
$ \liminf x_n=\operatorname{Inf}\{x\in\IR\ |\ x\ge x_n \mbox{ für unendlich viele } n\} $

(1), Aufgabe 14 in 4.G


Satz Seien $ (x_n) $ und $ (y_n) $ beschränkte Folgen reeller Zahlen.
Es gilt: $ \liminf x_n+\liminf y_n\le \liminf(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\liminf y_n\le\limsup(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\limsup y_n $

(1), Aufgabe 15a in 4.G


Satz Seien $ (x_n) $ und $ (y_n) $ beschränkte Folgen reeller, nichtnegativer Zahlen.
Es gilt: $ \liminf x_n\cdot{}\liminf y_n\le \liminf(x_n\cdot{}y_n)\le\limsup x_n\cdot{}\liminf y_n\le\limsup(x_n\cdot{}y_n)\le\limsup x_n\cdot{}\limsup y_n $

(1), Aufgabe 15b in 4.G


Literaturangaben

(1) isbn3411032049

Erstellt: Mi 17.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 20.11.2008 um 20:53 von Loddar
Weitere Autoren: informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

Alle Foren
Status vor 1d 1h 33m 7. maggieNess
Taschenrechner/Tinspire Cx Cas Einstellungen
Status vor 1d 11h 16m 8. donquijote
DiffGlGew/Lösungsmethode DGL´s
Status vor 1d 21h 09m 9. Eisfisch
S5-7/Gemischte Brüche
Status vor 2d 2. Gonozal_IX
SDiffRech/Mehrdimensionale Extrema
Status vor 2d 6. Gonozal_IX
UWTheo/Riemannsche Dichte von X+a
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]