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metrischer Raum

Definition Metrischer Raum

Es sei $ X $ eine nichtleere Menge und es sei $ d:X \times X \longrightarrow \IR $ eine Funktion. $ d $ heißt Metrik (auf $ X $), falls folgende Bedingungen gelten:

$ d.1) $ Es gilt $ d(x,y)=0 \gdw x=y $ für alle $ x,y \in X $. (Definitheit)

$ d.2) $ Es gilt $ d(x,y)=d(y,x) $ für alle $ x,y \in X $. (Symmetrie)

$ d.3) $ Es gilt $ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) $ für alle $ x,y,z \in X $. (Dreiecksungleichung)

Das Paar $ (X,d) $ heißt dann metrischer Raum.


Bemerkungen.

1.) Bei der Definitheit wird oft zusätzlich $ d(x,y) \ge 0 $ für alle $ x,y \in X $ gefordert. Wir werden aber zeigen, dass darauf verzichtet werden kann, denn:
Nach $ d.1) $ (obige Bedingung!) gilt für alle $ x,y \in X $:
$ 0=d(x,x)\stackrel{d.3)}{\le}d(x,y)+d(y,x)\stackrel{d.2)}{=}d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y) $,
woraus dann $ d(x,y)\ge 0 $ ($ \forall x,y \in X $) folgt.   $ \Box $

2.) Eine Folge $ (x_n)_{n \in \IN} $ in einem metrischen Raum $ (X,d) $ heißt konvergent, falls ein $ x \in X $ existiert, so dass:
Für alle $ \varepsilon>0 $: $ \exists N=N_{\varepsilon}:\;\forall n\ge N:\; d(x_n,x)\le \varepsilon $.
Wir schreiben dann $ x_n \to x $ ($ n \to \infty $) und sagen, die Folge $ (x_n)_{n \in \IN} $ konvergiere gegen den Grenzwert $ x $.

3.) Ist $ (X,d) $ ein metrischer Raum und ist $ (x_n)_{n \in \IN} $ eine konvergente Folge in $ X $, so ist der Grenzwert von $ (x_n)_{n \in \IN} $ eindeutig bestimmt.

Beweis:
Sei $ \varepsilon > 0 $ gegeben und seien $ x,y \in X $ mit $ x_n \to x $ ($ n \to \infty $) und $ x_n \to y $ ($ n \to \infty $).
Dann existiert ein $ N_1=N_{\varepsilon}^{(1)}\in \IN $, so dass für alle $ n \ge N_1 $ gilt:
$ d(x,x_n)\le \frac{\varepsilon}{2} $.
Ebenso existiert ein $ N_2=N_{\varepsilon}^{(2)}\in \IN $, so dass für alle $ n \ge N_2 $ gilt:
$ d(y,x_n)\le \frac{\varepsilon}{2} $.

Also gilt für alle $ n \ge max\{N_1;N_2\} $:
$ d(x,y)\stackrel{d.3)}{\le}d(x,x_n)+d(x_n,y)\stackrel{d.2)}{=}d(x,x_n)+d(y,x_n) \le \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $.

Da $ \varepsilon > 0 $ beliebig war, folgt $ d(x,y)=0 $ und wegen $ d.1) $ somit $ x=y $.

(Denn:
Angenommen, es gelte $ d(x,y)\le \varepsilon $ für alle $ \varepsilon > 0 $ und es wäre $ (\star) $ $ d(x,y)>0 $.
Dann gilt für $ \varepsilon:=\frac{d(x,y)}{2}>0 $:
$ d(x,y)\le \varepsilon=\frac{d(x,y)}{2} $, also:
$ \frac{d(x,y)}{2}\le 0 \gdw d(x,y) \le 0 $. Da aber auch $ d(x,y) \ge 0 $ gilt, folgt:
$ d(x,y)=0 $ im Widerspruch zu $ (\star) $.   $ \Box $) $ \Box $

Erstellt: Do 21.10.2004 von Marcel
Letzte Änderung: Fr 19.11.2004 um 10:10 von Marcel
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