matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseitesymmetrisch
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
symmetrisch
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

symmetrisch

Symmetrie bei Funktionen


Schule

Funktionen können

  • achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse mit x=a oder
  • punktsymmetrisch zu einem Punkt P(a|b) sein

Damit die Gerade x=a eine vertikale Symmetrieachse ist, muss gelten:


f(a+x)=f(a-x)

Für eine Punktsymmetrie zum Punkt P(a|b) muss gelten:


f(a+x)+f(a-x)=2*b

Ist die y-Achse x=0 Symmetrieachse oder der Ursprung (0|0) Symmetriepunkt,
vereinfachen sich die obigen Bedingungen zu:


f(-x) = f(x)  für Achsensymmetrie zu x=0


f(-x) = -f(x) für Punktsymmetrie zu (0|0)


Beispiele.

1.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=2x^3+3x $ ist ungerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in \IR $:
$ f(-x)=2\cdot{}(-x)^3+3\cdot{}(-x)=2\cdot{}(-x^3)-3x=-2x^3-3x=-(2x^3+3x)=-f(x) $.


2.) Die Funktion $ f: $ $ [-3;3] \cap \IZ $   $ \to $   $ [-1000;1000] $ definiert durch $ f(x):=3x^4+5x^2+2 $ ist gerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in [-3;3] $:
$ f(-x)=3\cdot{}(-x)^4+5\cdot{}(-x)^2+2=3x^4+5x^2+2=f(x) $, und damit insbesondere:
$ f(-x)=f(x) $ $ \forall x \in ([-3;3] \cap \IZ) $.


3.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=x^2+2x $ ist weder gerade noch ungerade.

Es gilt nämlich einerseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}x^2+2x=f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=3=1^2+2\cdot{}1=f(1) $) (d.h. $ f $ ist nicht gerade),

und andererseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}-x^2-2x=-(x^2+2x)=-f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=-3=-(1^2+2\cdot{}1)=-f(1) $ (d.h. $ f $ ist nicht ungerade).


4.) Ist $ M\subset \IR $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gilt,
und ist $ f $ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $ M $,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist $ f $ auf $ M $ die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle $ x \in M $:
$ f(x)\stackrel{f \,\, gerade}{=}f(-x)\stackrel{f \,\, ungerade}{=}-f(x) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}f(x)=0 $
$ \gdw $
$ f(x)=0 $.   $ \Box $


5.) Sei $ M $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gelte. Sei ferner $ 0 \in M $.
Dann gilt:
Ist $ g $ eine ungerade Funktion, so gilt $ g(0)=0 $.
Denn:
$ g(0)\stackrel{weil\,\,\,0=-0}{=}g(-0)\stackrel{g\,\,
ungerade}{=}-g(0) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}g(0)=0 $
$ \gdw $
$ g(0)=0 $.    $ \Box $


Universität


Beispiele.

1.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=2x^3+3x $ ist ungerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in \IR $:
$ f(-x)=2\cdot{}(-x)^3+3\cdot{}(-x)=2\cdot{}(-x^3)-3x=-2x^3-3x=-(2x^3+3x)=-f(x) $.

2.) Die Funktion $ f: $ $ [-3;3] \cap \IZ $   $ \to $   $ [-1000;1000] $ definiert durch $ f(x):=3x^4+5x^2+2 $ ist gerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in [-3;3] $:
$ f(-x)=3\cdot{}(-x)^4+5\cdot{}(-x)^2+2=3x^4+5x^2+2=f(x) $, und damit insbesondere:
$ f(-x)=f(x) $ $ \forall x \in ([-3;3] \cap \IZ) $.

3.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=x^2+2x $ ist weder gerade noch ungerade.

Es gilt nämlich einerseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}x^2+2x=f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=3=1^2+2\cdot{}1=f(1) $) (d.h. $ f $ ist nicht gerade),


und andererseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}-x^2-2x=-(x^2+2x)=-f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=-3=-(1^2+2\cdot{}1)=-f(1) $ (d.h. $ f $ ist nicht ungerade).

4.) Ist $ M\subset \IR $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gilt,
und ist $ f $ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $ M $,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist $ f $ auf $ M $ die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle $ x \in M $:
$ f(x)\stackrel{f \,\, gerade}{=}f(-x)\stackrel{f \,\, ungerade}{=}-f(x) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}f(x)=0 $
$ \gdw $
$ f(x)=0 $.   $ \Box $

5.) Sei $ M $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gelte. Sei ferner $ 0 \in M $.
Dann gilt:
Ist $ g $ eine ungerade Funktion, so gilt $ g(0)=0 $.
Denn:
$ g(0)\stackrel{weil\,\,\,0=-0}{=}g(-0)\stackrel{g\,\,
ungerade}{=}-g(0) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}g(0)=0 $
$ \gdw $
$ g(0)=0 $.    $ \Box $


Universität


Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion) bzw.


Achsensymmetrie zur y-Achse (gerade Funktion) einer reellwertigen Funktion

Sei $ M \subset \IR $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gelte.

Sei $ f $ eine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich $ M $.

Die Funktion $ f $ heißt:

- punktsymmetrisch zum Ursprung (oder ungerade) (auf $ M $), falls für alle $ x \in M $ die Gleichung $ f(-x)=-f(x) $ gilt

- achsensymmetrisch zur $ y $-Achse (oder gerade) (auf $ M $), falls für alle $ x \in M $ die Gleichung $ f(-x)=f(x) $ gilt.


Beispiele.

1.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=2x^3+3x $ ist ungerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in \IR $:
$ f(-x)=2\cdot{}(-x)^3+3\cdot{}(-x)=2\cdot{}(-x^3)-3x=-2x^3-3x=-(2x^3+3x)=-f(x) $.

2.) Die Funktion $ f: $ $ [-3;3] \cap \IZ $   $ \to $   $ [-1000;1000] $ definiert durch $ f(x):=3x^4+5x^2+2 $ ist gerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in [-3;3] $:
$ f(-x)=3\cdot{}(-x)^4+5\cdot{}(-x)^2+2=3x^4+5x^2+2=f(x) $, und damit insbesondere:
$ f(-x)=f(x) $ $ \forall x \in ([-3;3] \cap \IZ) $.

3.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=x^2+2x $ ist weder gerade noch ungerade.

Es gilt nämlich einerseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}x^2+2x=f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=3=1^2+2\cdot{}1=f(1) $) (d.h. $ f $ ist nicht gerade),


und andererseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}-x^2-2x=-(x^2+2x)=-f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=-3=-(1^2+2\cdot{}1)=-f(1) $ (d.h. $ f $ ist nicht ungerade).

4.) Ist $ M\subset \IR $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gilt,
und ist $ f $ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $ M $,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist $ f $ auf $ M $ die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle $ x \in M $:
$ f(x)\stackrel{f \,\, gerade}{=}f(-x)\stackrel{f \,\, ungerade}{=}-f(x) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}f(x)=0 $
$ \gdw $
$ f(x)=0 $.   $ \Box $

5.) Sei $ M $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gelte. Sei ferner $ 0 \in M $.
Dann gilt:
Ist $ g $ eine ungerade Funktion, so gilt $ g(0)=0 $.
Denn:
$ g(0)\stackrel{weil\,\,\,0=-0}{=}g(-0)\stackrel{g\,\,
ungerade}{=}-g(0) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}g(0)=0 $
$ \gdw $
$ g(0)=0 $.    $ \Box $





Symmetrie bei ebenen Figuren symmetrischen Figuren



TODO



Symmetrie bei Gruppen

symmetrische Gruppen

TODO

Erstellt: Fr 22.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Fr 03.11.2006 um 23:41 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]