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symmetrisch

Symmetrie bei Funktionen


Schule

Funktionen können

  • achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse mit x=a oder
  • punktsymmetrisch zu einem Punkt P(a|b) sein

Damit die Gerade x=a eine vertikale Symmetrieachse ist, muss gelten:


f(a+x)=f(a-x)

Für eine Punktsymmetrie zum Punkt P(a|b) muss gelten:


f(a+x)+f(a-x)=2*b

Ist die y-Achse x=0 Symmetrieachse oder der Ursprung (0|0) Symmetriepunkt,
vereinfachen sich die obigen Bedingungen zu:


f(-x) = f(x)  für Achsensymmetrie zu x=0


f(-x) = -f(x) für Punktsymmetrie zu (0|0)


Beispiele.

1.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=2x^3+3x $ ist ungerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in \IR $:
$ f(-x)=2\cdot{}(-x)^3+3\cdot{}(-x)=2\cdot{}(-x^3)-3x=-2x^3-3x=-(2x^3+3x)=-f(x) $.


2.) Die Funktion $ f: $ $ [-3;3] \cap \IZ $   $ \to $   $ [-1000;1000] $ definiert durch $ f(x):=3x^4+5x^2+2 $ ist gerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in [-3;3] $:
$ f(-x)=3\cdot{}(-x)^4+5\cdot{}(-x)^2+2=3x^4+5x^2+2=f(x) $, und damit insbesondere:
$ f(-x)=f(x) $ $ \forall x \in ([-3;3] \cap \IZ) $.


3.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=x^2+2x $ ist weder gerade noch ungerade.

Es gilt nämlich einerseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}x^2+2x=f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=3=1^2+2\cdot{}1=f(1) $) (d.h. $ f $ ist nicht gerade),

und andererseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}-x^2-2x=-(x^2+2x)=-f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=-3=-(1^2+2\cdot{}1)=-f(1) $ (d.h. $ f $ ist nicht ungerade).


4.) Ist $ M\subset \IR $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gilt,
und ist $ f $ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $ M $,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist $ f $ auf $ M $ die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle $ x \in M $:
$ f(x)\stackrel{f \,\, gerade}{=}f(-x)\stackrel{f \,\, ungerade}{=}-f(x) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}f(x)=0 $
$ \gdw $
$ f(x)=0 $.   $ \Box $


5.) Sei $ M $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gelte. Sei ferner $ 0 \in M $.
Dann gilt:
Ist $ g $ eine ungerade Funktion, so gilt $ g(0)=0 $.
Denn:
$ g(0)\stackrel{weil\,\,\,0=-0}{=}g(-0)\stackrel{g\,\,
ungerade}{=}-g(0) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}g(0)=0 $
$ \gdw $
$ g(0)=0 $.    $ \Box $


Universität


Beispiele.

1.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=2x^3+3x $ ist ungerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in \IR $:
$ f(-x)=2\cdot{}(-x)^3+3\cdot{}(-x)=2\cdot{}(-x^3)-3x=-2x^3-3x=-(2x^3+3x)=-f(x) $.

2.) Die Funktion $ f: $ $ [-3;3] \cap \IZ $   $ \to $   $ [-1000;1000] $ definiert durch $ f(x):=3x^4+5x^2+2 $ ist gerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in [-3;3] $:
$ f(-x)=3\cdot{}(-x)^4+5\cdot{}(-x)^2+2=3x^4+5x^2+2=f(x) $, und damit insbesondere:
$ f(-x)=f(x) $ $ \forall x \in ([-3;3] \cap \IZ) $.

3.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=x^2+2x $ ist weder gerade noch ungerade.

Es gilt nämlich einerseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}x^2+2x=f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=3=1^2+2\cdot{}1=f(1) $) (d.h. $ f $ ist nicht gerade),


und andererseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}-x^2-2x=-(x^2+2x)=-f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=-3=-(1^2+2\cdot{}1)=-f(1) $ (d.h. $ f $ ist nicht ungerade).

4.) Ist $ M\subset \IR $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gilt,
und ist $ f $ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $ M $,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist $ f $ auf $ M $ die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle $ x \in M $:
$ f(x)\stackrel{f \,\, gerade}{=}f(-x)\stackrel{f \,\, ungerade}{=}-f(x) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}f(x)=0 $
$ \gdw $
$ f(x)=0 $.   $ \Box $

5.) Sei $ M $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gelte. Sei ferner $ 0 \in M $.
Dann gilt:
Ist $ g $ eine ungerade Funktion, so gilt $ g(0)=0 $.
Denn:
$ g(0)\stackrel{weil\,\,\,0=-0}{=}g(-0)\stackrel{g\,\,
ungerade}{=}-g(0) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}g(0)=0 $
$ \gdw $
$ g(0)=0 $.    $ \Box $


Universität


Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion) bzw.


Achsensymmetrie zur y-Achse (gerade Funktion) einer reellwertigen Funktion

Sei $ M \subset \IR $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gelte.

Sei $ f $ eine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich $ M $.

Die Funktion $ f $ heißt:

- punktsymmetrisch zum Ursprung (oder ungerade) (auf $ M $), falls für alle $ x \in M $ die Gleichung $ f(-x)=-f(x) $ gilt

- achsensymmetrisch zur $ y $-Achse (oder gerade) (auf $ M $), falls für alle $ x \in M $ die Gleichung $ f(-x)=f(x) $ gilt.


Beispiele.

1.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=2x^3+3x $ ist ungerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in \IR $:
$ f(-x)=2\cdot{}(-x)^3+3\cdot{}(-x)=2\cdot{}(-x^3)-3x=-2x^3-3x=-(2x^3+3x)=-f(x) $.

2.) Die Funktion $ f: $ $ [-3;3] \cap \IZ $   $ \to $   $ [-1000;1000] $ definiert durch $ f(x):=3x^4+5x^2+2 $ ist gerade. Es gilt nämlich für alle $ x \in [-3;3] $:
$ f(-x)=3\cdot{}(-x)^4+5\cdot{}(-x)^2+2=3x^4+5x^2+2=f(x) $, und damit insbesondere:
$ f(-x)=f(x) $ $ \forall x \in ([-3;3] \cap \IZ) $.

3.) Die Funktion $ f: \IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=x^2+2x $ ist weder gerade noch ungerade.

Es gilt nämlich einerseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}x^2+2x=f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=3=1^2+2\cdot{}1=f(1) $) (d.h. $ f $ ist nicht gerade),


und andererseits:
$ f(-x)=(-x)^2+2\cdot{}(-x)=x^2-2x\stackrel{i.A.}{\not=}-x^2-2x=-(x^2+2x)=-f(x) $
(etwa weil $ f(-1)=(-1)^2+2\cdot{}(-1)=1-2=-1\not=-3=-(1^2+2\cdot{}1)=-f(1) $ (d.h. $ f $ ist nicht ungerade).

4.) Ist $ M\subset \IR $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gilt,
und ist $ f $ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $ M $,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist $ f $ auf $ M $ die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle $ x \in M $:
$ f(x)\stackrel{f \,\, gerade}{=}f(-x)\stackrel{f \,\, ungerade}{=}-f(x) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}f(x)=0 $
$ \gdw $
$ f(x)=0 $.   $ \Box $

5.) Sei $ M $ eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle $ x \in M $ auch $ -x \in M $ gelte. Sei ferner $ 0 \in M $.
Dann gilt:
Ist $ g $ eine ungerade Funktion, so gilt $ g(0)=0 $.
Denn:
$ g(0)\stackrel{weil\,\,\,0=-0}{=}g(-0)\stackrel{g\,\,
ungerade}{=}-g(0) $
$ \gdw $
$ 2\cdot{}g(0)=0 $
$ \gdw $
$ g(0)=0 $.    $ \Box $





Symmetrie bei ebenen Figuren symmetrischen Figuren



TODO



Symmetrie bei Gruppen

symmetrische Gruppen

TODO

Erstellt: Fr 22.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Fr 03.11.2006 um 23:41 von informix
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