symmetrische GruppeDefinition symmetrische Gruppe
Universität
In der Halbgruppe  aller Abbildungen einer Menge  in sich (mit der Komposition von Abbildungen als Verknürpfung,  , ist  neutrales Element und die bijektiven Abbildungen, also die Permutationen von , sind genau die invertierbaren Elemente in  . Also ist
zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe.
Sie heißt die Gruppe der Permutationen von oder die symmetrische Gruppe von .
Für den wichtigen Spezialfall  setzen wir
 .
Die Elemente von  heißen Permutationen __vom Grad  , sie werden häufig in der Form
angegeben. Schreibt man  in dieser Form, dann erhält man für das Produkt 
 .
Man fängt also die Auswertung beim rechten Faktor an, so wie es sich für ein Produkt von Abbildungen auch gehört.
Beispiel
 .
Man geht nach dem Schema vor:
 ,
 ,
 ,
etc.
(" wird auf die  abgebildet, dann bleibt fest, insgesamt auf ;  wird auf  abgebildet, dann auf  , insgesamt auf , etc.")
Das Inverse  von  ist die Abbildung
 ,
d.h. wir vertauschen in  die Zeilen, erhalten
und bringen dies in die richtige Reihenfolge, so dass wir in der oberen Zeile die natürliche Anordnung haben. Das Ergebnis ist .
Beispiel
 .
Es gilt:  .
__Beweis (Induktion):  ist klar. Die Zahl kann in der zweiten Zeile einer Permutation aus an verschiedenen Stellen vorkommen, nämlich unter  oder . Für jede dieser Möglichkeiten können die restlichen  Zahlen auf Stellen verteilt werden. Dafür gibt es nach Induktionsvoraussetzung  Möglichkeiten. Insgesamt haben wir daher  Möglichkeiten, die Zahlen  in verschiedene Reihenfolgen zu bringen.
Fortsetzung folgt später...
Quelle: isbn3446130799
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