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Abbildungen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Mi 11.11.2015
Autor: Lars.P

Aufgabe
Es seien X und Y endliche Mengen. Zeigen Sie:
i)|X| [mm] \le [/mm] |Y| [mm] \gdw [/mm] Es existiert eine injektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y

ii) |X| [mm] \ge [/mm] |Y| [mm] \gdw [/mm]  Es existiert eine surjektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y.

Ich habe beide Aufgaben gelöst und würde gerne wissen ob mein Lösungsweg und meine Lösung richtig sind.
Danke schon mal im voraus.

i)I  |X| [mm] \le [/mm] |Y| [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine injektive Abbildung f:X [mm] \to [/mm] Y

II   |X| [mm] \le [/mm] |Y| [mm] \Leftarrow [/mm] Es existiert eine injektive Abbildung f:X [mm] \to [/mm] Y

I Sei X= { [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] } und Y= { [mm] y_{1},...,y_{m} [/mm] }  n,m [mm] \in \IR [/mm]
n [mm] \le [/mm] m.
Definiere f( [mm] x_{i} [/mm] )= [mm] y_{i} [/mm] (Funktionsvorschrift einer Abbildung) i [mm] \in \IR [/mm]  i=1,...,n
Definiere f( [mm] x_{a} [/mm] )= [mm] y_{a} [/mm]   a [mm] \in [/mm] i
Definiere f( [mm] x_{b} [/mm] )= [mm] y_{b} [/mm]   b [mm] \in [/mm] i
Falls [mm] y_{a} [/mm] = [mm] y_{b} \Rightarrow f(x_{a}) [/mm] = [mm] f(x_{b}) \Rightarrow x_{a} [/mm] = [mm] x_{b} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv. Das heißt, es werden n Elemente höchstens einmal getroffen und die restlichen m-n Elemente werden nicht abgebildet  [mm] \Rightarrow [/mm] Injektivität

II
Definiere [mm] f(x_{i})=y_{i} [/mm] (Funktionsvorschrift einer Abbildung) i [mm] \in \IR [/mm]  i=1,...,n
Definiere [mm] f(x_{a})=y_{a} [/mm]   a [mm] \in [/mm] i
Definiere [mm] f(x_{b})=y_{b} [/mm]   b [mm] \in [/mm] i

Falls [mm] y_{a}=y_{b} \Rightarrow f(x_{a})=f(x_{b}) \Rightarrow x_{a}=x_{b} [/mm] mit y [mm] \in [/mm] Y  und x [mm] \in [/mm] X
X muss eine kleine Menge sein also |X| [mm] \le [/mm] |Y|, damit keine Elemente doppelt getroffen werden, weil der Definitionsbereich nicht größer sein darf als der Wertebereich.
[mm] \Rightarrow [/mm]   X= [mm] \{ x_{1},...,x_{n} } [/mm] und Y= [mm] \{ y_{1},...,y_{m} } [/mm]  n,m [mm] \in \IR [/mm]  n [mm] \le [/mm] m.


ii)
I |X| [mm] \ge [/mm] |Y| [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine surjektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y.
II |X| [mm] \ge [/mm] |Y| [mm] \Leftarrow [/mm] Es existiert eine surjektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y.

I.  Sei X= { [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] } und Y= { [mm] y_{1},...,y_{m} [/mm] }  n,m [mm] \in \IR [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] m
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] y [mm] \IN [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \IN [/mm] X  f(x)=y
Da |X| [mm] \ge [/mm] |Y| ist gibt es für jedes y [mm] \in [/mm] Y mindestens  ein x \ X welches erfüllt f(x)=y. Das heißt, jedes Element von Y wird abgebildet [mm] \Rightarrow [/mm] surjektiv.

II Sei [mm] \forall [/mm] y [mm] \IN [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \IN [/mm] X  f(x)=y, zz |X| [mm] \ge [/mm] |Y|
Da surjektiv, wird jedes Element  aus Y mindestens einmal abgebildet.
[mm] \Rightarrow [/mm] muss also |X| [mm] \ge [/mm] |Y| gelten damit jedes Element Y getroffen wird aber nicht doppelt.

        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mi 11.11.2015
Autor: HJKweseleit


> Es seien X und Y endliche Mengen. Zeigen Sie:
>  i)|X| [mm]\le[/mm] |Y| [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine injektive Abbildung
> f: X [mm]\to[/mm] Y
>
> ii) |X| [mm]\ge[/mm] |Y| [mm]\gdw[/mm]  Es existiert eine surjektive
> Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y.
>  Ich habe beide Aufgaben gelöst und würde gerne wissen ob
> mein Lösungsweg und meine Lösung richtig sind.
>  Danke schon mal im voraus.
>  
> i)I  |X| [mm]\le[/mm] |Y| [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert eine injektive
> Abbildung f:X [mm] \to [/mm] Y
>
> II   |X| [mm]\le[/mm] |Y| [mm]\Leftarrow[/mm] Es existiert eine injektive
> Abbildung f:X [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Y

>
> I Sei X= { [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} und Y= { [mm]y_{1},...,y_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}  

> n,m [mm]\in \IR[/mm]

woher die roten Fehlermarkierungen kommen, weiß ich nicht, ich habe dich nur zitiert.

>  n [mm]\le[/mm] m.
>   Definiere f( [mm]x_{i}[/mm] )= [mm]y_{i}[/mm] (Funktionsvorschrift einer
> Abbildung) i [mm]\in \IR[/mm]  i=1,...,n

[ok] evtl. noch: f ist eine Fkt., da jedem [mm] x_i [/mm] aus X genau ein [mm] y_i [/mm] aus Y zugeordnet wird.

>  Definiere f( [mm]x_{a}[/mm] )= [mm]y_{a}[/mm]   a [mm]\in[/mm] i [notok]  i ist keine Menge. Diese Zeile ist aber überflüssig.
>  Definiere f( [mm]x_{b}[/mm] )= [mm]y_{b}[/mm]   b [mm]\in[/mm] i [notok]  i ist keine Menge. Diese Zeile ist ebenfalls überflüssig.


>  Falls [mm]y_{a}[/mm] = [mm]y_{b} \Rightarrow f(x_{a})[/mm] = [mm]f(x_{b}) \Rightarrow x_{a}[/mm]
> = [mm]x_{b}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] f injektiv.

Schöner: Sei nun [mm] f(x_a)=f(x_b) [/mm]   (beachte die logische Reihenfolge!)  [mm] \Rightarrow y_a [/mm] = [mm] y_b \Rightarrow [/mm] a=b, (gleiche Indices, da zu verschiedenen Indices verschiedene y gehören) [mm] \Rightarrow x_a [/mm] = [mm] x_b \Rightarrow [/mm] f injektiv.

> Das heißt, es werden n Elemente
> höchstens einmal getroffen und die restlichen m-n Elemente
> werden nicht abgebildet  [mm]\Rightarrow[/mm] Injektivität
>  
> II [notok]

Die folgende Argumentation ist unverständlich.
Fang so an: Angenommen, es gibt eine injektive Funktion f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y. Dann ...

>   Definiere [mm]f(x_{i})=y_{i}[/mm] (Funktionsvorschrift einer
> Abbildung) i [mm]\in \IR[/mm]  i=1,...,n
>  Definiere [mm]f(x_{a})=y_{a}[/mm]   a [mm]\in[/mm] i
>  Definiere [mm]f(x_{b})=y_{b}[/mm]   b [mm]\in[/mm] i
>  
> Falls [mm]y_{a}=y_{b} \Rightarrow f(x_{a})=f(x_{b}) \Rightarrow x_{a}=x_{b}[/mm]
> mit y [mm]\in[/mm] Y  und x [mm]\in[/mm] X
>  X muss eine kleine Menge sein also |X| [mm]\le[/mm] |Y|, damit
> keine Elemente doppelt getroffen werden, weil der
> Definitionsbereich nicht größer sein darf als der
> Wertebereich.

"weil der Definitionsbereich nicht größer sein darf als der Wertebereich" darfst du nicht als Argument verwenden, weil du das ja gerade noch beweisen sollst!

>  [mm]\Rightarrow[/mm]   X= [mm]\{ x_{1},...,x_{n} }[/mm] und Y= [mm]\{ y_{1},...,y_{m} }[/mm]
>  n,m [mm]\in \IR[/mm]  n [mm]\le[/mm] m.
>  
>




> ii)
> I |X| [mm]\ge[/mm] |Y| [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert eine surjektive
> Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y.
>  II |X| [mm]\ge[/mm] |Y| [mm]\Leftarrow[/mm] Es existiert eine surjektive
> Abbildung f: X [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Y.

>  
> I.  Sei X= { [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} und Y= { [mm]y_{1},...,y_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}  

> n,m [mm]\in \IR[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] m
>  [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\IN[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x [mm]\IN[/mm] X  f(x)=y
>  Da |X| [mm]\ge[/mm] |Y| ist gibt es für jedes y [mm]\in[/mm] Y mindestens  
> ein x \ X welches erfüllt f(x)=y. Das heißt, jedes
> Element von Y wird abgebildet [mm]\Rightarrow[/mm] surjektiv.
>  

[notok]

Für [mm] f(x)=y_1 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X hast du eine Abbildung, die nicht surjektiv ist, wenn Y mindestens 2 Elemente enthält. Du musst schon eine konkrete Abbildung angeben.

Beispiel:

[mm] f(x_i)=\begin{cases} y_i, & \mbox{für } i < m \mbox{ } \\ y_m, & \mbox{für } i \ge m \mbox{ } \end{cases} [/mm]


> II Sei [mm]\forall[/mm] y [mm]\IN[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x [mm]\IN[/mm] X  f(x)=y, zz |X| [mm]\ge[/mm]
> |Y|
>  Da surjektiv, wird jedes Element  aus Y mindestens einmal
> abgebildet.

Da kein x auf mehr als ein y abgebildet wird, muss es mindestens genau so viele x wie y geben.

> [mm]\Rightarrow[/mm] muss also |X| [mm]\ge[/mm] |Y| gelten damit jedes
> Element Y getroffen wird aber nicht doppelt.

Warum nicht doppelt? in meinem Beispiel oben wird [mm] y_m [/mm] evtl. mehrfach getroffen.


Bezug
        
Bezug
Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:01 Do 12.11.2015
Autor: tobit09

Hallo Lars.P!


> Es seien X und Y endliche Mengen. Zeigen Sie:
>  i)|X| [mm]\le[/mm] |Y| [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine injektive Abbildung
> f: X [mm]\to[/mm] Y
>
> ii) |X| [mm]\ge[/mm] |Y| [mm]\gdw[/mm]  Es existiert eine surjektive
> Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y.

Die Aussage ii) ist im Allgemeinen falsch.
Genauer gesagt stimmt sie genau dann nicht, wenn [mm] $Y=\emptyset$ [/mm] und [mm] $X\not=\emptyset$. [/mm]

Zur Abhilfe würde ich zusätzlich [mm] $Y\not=\emptyset$ [/mm] voraussetzen.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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