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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Di 27.09.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Wir betrachten [mm] f:\IC \to \IC [/mm] definiert durch [mm] f(x+i*y)=\bruch{x*y^{2}*(x+i*y)}{x^{2}+y^{4}} [/mm] für z=x+i*y [mm] \not=0 [/mm] und f(0)=0.
Beweisen Sie, dass f in 0 [mm] \in \IC [/mm] keine Ableitung besitzt. Zeigen Sie weiterhin, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(z)-f(0)}{z} [/mm] immer existiert, wenn z gegen 0 auf einer festen Geraden 0 [mm] \in [/mm] L [mm] \subset \IC [/mm] konvergiert.

Hallo,

ich habe die Aufgabe so gelöst:

[mm] \limes_{z\rightarrow 0} \bruch{f(z)-f(0)}{z}= [/mm]
[mm] \limes_{z\rightarrow 0} \bruch{\bruch{xy^{2}*(x+iy)}{x^{2}+y^{4}}}{x+iy}=\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{xy^{2}(x+iy)}{x^{2}+y^{4}}=\bruch{0}{0}. [/mm] Da dieser Ausdruck unbestimmt ist, existiert der Grenzwert nicht und f hat keine Ableitung in 0.
Stimmt das so?
Den zweiten Teil verstehe ich nicht ganz. Ist mit L die x-Achse gmeint und 0 [mm] \in [/mm] L etwa der Punkt (0/0+i*0)?
Hier hab ich leider überhaupt keinen Ansatz.Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank
lg

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Di 27.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Mandy,


> Wir betrachten [mm]f:\IC \to \IC[/mm] definiert durch
> [mm]f(x+i*y)=\bruch{x*y^{2}*(x+i*y)}{x^{2}+y^{4}}[/mm] für z=x+i*y
> [mm]\not=0[/mm] und f(0)=0.
>  Beweisen Sie, dass f in 0 [mm]\in \IC[/mm] keine Ableitung besitzt.
> Zeigen Sie weiterhin, dass [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(z)-f(0)}{z}[/mm]
> immer existiert, wenn z gegen 0 auf einer festen Geraden 0
> [mm]\in[/mm] L [mm]\subset \IC[/mm] konvergiert.
>  Hallo,
>  
> ich habe die Aufgabe so gelöst:
>  
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{f(z)-f(0)}{z}=[/mm]
>  
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{\bruch{xy^{2}*(x+iy)}{x^{2}+y^{4}}}{x+iy}=\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{xy^{2}(x+iy)}{x^{2}+y^{4}}[/mm]

[haee] Hier kürzt sich doch [mm]x+iy[/mm] raus, es bleibt

[mm]\frac{xy^2}{x^2+y^4}[/mm]

> [mm]=\bruch{0}{0}[/mm].
> Da dieser Ausdruck unbestimmt ist, existiert der Grenzwert
> nicht und f hat keine Ableitung in 0.

Wieso nicht? Das könnte doch alles mögliche sein, wieso nicht ein fester Wert?

>  Stimmt das so?

Ich würde es mit dem Folgenkrit. machen.

Bastel dir eine Folge [mm](z_n)_{n\in\IN}=(x_n+iy_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]z_n\to 0[/mm], also [mm]x_n+iy_n\to 0+0i[/mm], für die aber [mm]\frac{f(x_n+iy_n)}{x_n+iy_n}[/mm] nicht konvergiert.

Ich würde sagen, da gibt es eine recht einfach gestrickte Folge.

>  Den zweiten Teil verstehe ich nicht ganz. Ist mit L die
> x-Achse gmeint und 0 [mm]\in[/mm] L etwa der Punkt (0/0+i*0)?

Ja, gemeint sind wohl "Ursprungsgeraden", aber die Notation bzw. die Formulierung in der Aufgabenstellung finde ich komisch.

>  Hier hab ich leider überhaupt keinen Ansatz.Kann mir
> jemand weiterhelfen?

Vllt. hilft dir dieses pdf?

http://mathematik.ph-weingarten.de/~ludwig/Vorlesungen/ws0607/komplexezahlen/Kapitel4.pdf

Kap.4.3

>  
> Vielen Dank
>  lg

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Mi 28.09.2011
Autor: Mandy_90


> Hallo Mandy,
>  
>
> > Wir betrachten [mm]f:\IC \to \IC[/mm] definiert durch
> > [mm]f(x+i*y)=\bruch{x*y^{2}*(x+i*y)}{x^{2}+y^{4}}[/mm] für z=x+i*y
> > [mm]\not=0[/mm] und f(0)=0.
>  >  Beweisen Sie, dass f in 0 [mm]\in \IC[/mm] keine Ableitung
> besitzt.
> > Zeigen Sie weiterhin, dass [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(z)-f(0)}{z}[/mm]
> > immer existiert, wenn z gegen 0 auf einer festen Geraden 0
> > [mm]\in[/mm] L [mm]\subset \IC[/mm] konvergiert.
>  >  Hallo,
>  >  
> > ich habe die Aufgabe so gelöst:
>  >  
> > [mm]\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{f(z)-f(0)}{z}=[/mm]
>  >  
> > [mm]\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{\bruch{xy^{2}*(x+iy)}{x^{2}+y^{4}}}{x+iy}=\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{xy^{2}(x+iy)}{x^{2}+y^{4}}[/mm]
>
> [haee] Hier kürzt sich doch [mm]x+iy[/mm] raus, es bleibt
>  
> [mm]\frac{xy^2}{x^2+y^4}[/mm]

Ja das meinte ich auch, hab mich verschrieben.

>  
> > [mm]=\bruch{0}{0}[/mm].
> > Da dieser Ausdruck unbestimmt ist, existiert der Grenzwert
> > nicht und f hat keine Ableitung in 0.
>  
> Wieso nicht? Das könnte doch alles mögliche sein, wieso
> nicht ein fester Wert?
>  
> >  Stimmt das so?

>  
> Ich würde es mit dem Folgenkrit. machen.
>  
> Bastel dir eine Folge [mm](z_n)_{n\in\IN}=(x_n+iy_n)_{n\in\IN}[/mm]
> mit [mm]z_n\to 0[/mm], also [mm]x_n+iy_n\to 0+0i[/mm], für die aber
> [mm]f(x_n+iy_n)[/mm] nicht konvergiert.
>  
> Ich würde sagen, da gibt es eine recht einfach gestrickte
> Folge.

Ich hab es mit der Folge [mm] z_{n}=\bruch{1}{n}+i*\bruch{1}{n} [/mm] versucht. Da konvergiert aber [mm] f(z_{n}) [/mm] ebenfalls gegen 0.
Dann habe ich mir die Folge [mm] z_{n}=(-0.5)^{n}+\bruch{i}{n} [/mm] genommen. Es gilt: [mm] f(z_{n})=\bruch{(-0.5)^{n}*\bruch{1}{n^{2}}*(-0.5^{n}+\bruch{i}{n})}{(-0.5)^{2n}+\bruch{1}{n^{2}}}=1+\bruch{i}{n*(-0.5)^{n}}. [/mm]
Und das konvergiert nicht, denn n konv. nicht, aber [mm] (-0.5)^{n} [/mm] konv. gegen Null.
Da nun [mm] \limes_{z_{n}\rightarrow 0} \bruch{f(z_{n})}{z_{n}} [/mm] nicht existiert, hat f in 0 [mm] \in \IC [/mm] auch keine Ableitung.
Ist das so in Ordnung?

Vielen Dank
lg

Bezug
                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Mi 28.09.2011
Autor: Helbig

Hallo Mandy,

>  Dann habe ich mir die Folge [mm]z_{n}=(-0.5)^{n}+\bruch{i}{n}[/mm]
> genommen. Es gilt:
> [mm]f(z_{n})=\bruch{(-0.5)^{n}*\bruch{1}{n^{2}}*(-0.5^{n}+\bruch{i}{n})}{(-0.5)^{2n}+\bruch{1}{n^{2}}}=1+\bruch{i}{n*(-0.5)^{n}}.[/mm]

Es muß heißen:
[mm]f(z_{n})=\bruch{(-0.5)^{n}*\bruch{1}{n^{2}}*(-0.5^{n}+\bruch{i}{n})}{(-0.5)^{2n}+\bruch{1}{n^{[red][/red4}}}[/mm]
Ob das nächste Gleichheitszeichen immer noch stimmt, bezweifel ich. Aber selbst wenn:

> Und das konvergiert nicht, denn n konv. nicht, aber
> [mm](-0.5)^{n}[/mm] konv. gegen Null.

Die Begründung ist falsch, denn [mm] $n\cdot (-0,5)^n$ [/mm] konvergiert sehr wohl, und zwar gegen null. Und hieraus folgt [mm] $\bruch [/mm] i [mm] {n\cdo (-05)^n}\to \infty$. [/mm] Aber Du bist eh auf dem falschen Weg! Du mußt doch [mm] $\lim_{z\to 0} \bruch [/mm] {f(z)} z$ und nicht [mm] $\lim_{z\to 0} [/mm] f(z)$ untersuchen.
Also den Grenzwert von [mm] $f(z)/z=\bruch {xy^2}{x^2+y^4}$ [/mm] für [mm] $z\to [/mm] 0$ bzw. für $(x, [mm] y)\to [/mm] (0,0)$.

OK?



Bezug
                                
Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mo 03.10.2011
Autor: Mandy_90

Hallo,

ok, ich untersuche den Grenzwert [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{f(z)}{z}=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{x*y^{2}}{x^{2}+y^{4}}. [/mm]

Ich hab dann folgenden Grenzwert untersucht:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})} \bruch{x*y^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+\bruch{1}{n}} \to [/mm] 0. Aber bei dieser Folge existiert der Grenzwert, ich muss also eine finden bei der er nicht existiert.
Für (x,y) [mm] \to (\bruch{1}{n^{2}},\bruch{1}{n}) [/mm] existiert der Grenzwert [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]
Die vorherige Folge, die ich ausprobiert hatte, bei der existiert der Grenzwert auch. Sonst kenne ich keine Nullfolgen.
Wie find ich denn nun eine Folge, bei der er nicht existiert?

Vielen Dank
lg

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Mo 03.10.2011
Autor: reverend

Hallo Mandy,

wenn Du zwei Nullfolgen gefunden hast, für die sich ein unterschiedlicher Grenzwert ergibt, bist Du doch fertig. Damit hast Du doch gezeigt, dass f(z) in 0 nicht ableitbar ist.

>  Die vorherige Folge, die ich ausprobiert hatte, bei der
> existiert der Grenzwert auch. Sonst kenne ich keine
> Nullfolgen.

Das mag ich gar nicht so recht glauben. Du kennst doch sicher genügend (reelle) Funktionen, die für [mm] x\to\infty [/mm] gegen Null gehen, oder? Dann kannst Du auch entsprechende Folgen daraus basteln.
Aber wie gesagt, nötig ist es hier nicht mehr.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Ableitung: Cauchy-Riemannsche DGLs
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 Mi 28.09.2011
Autor: Helbig

Hallo,
hattet ihr schon die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen? Wenn sie in $0$ nicht erfüllt sind, existiert $f'(0)$ nicht.

Mit $L$ ist tatsächlich eine Ursprungsgerade gemeint, das heißt für ein [mm] $z\in\IC$, $z\ne [/mm] 0$, die Menge
[mm] $\{\alpha z\mid \alpha\in\IR\}$. [/mm]

liebe Grüße,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Mi 28.09.2011
Autor: Mandy_90

Hallo Wolfgang,

>  hattet ihr schon die Cauchy-Riemannschen
> Differentialgleichungen? Wenn sie in [mm]0[/mm] nicht erfüllt sind,
> existiert [mm]f'(0)[/mm] nicht.

Wir hatten leider noch überhaupt keine Differentialgleichungen.

lg  


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