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Forum "Uni-Stochastik" - Ableitung inverse NV
Ableitung inverse NV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung inverse NV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Do 27.02.2014
Autor: MichaFCC

Aufgabe
Sei N die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, [mm]\alpha>0[/mm] und [mm] p \in [ \bruch{\alpha}{1+\alpha} , 1 ] [/mm] .

Zeigen Sie, dass die folgende Funktion streng monoton steigend in p ist

[mm] N~(~N^{-1}(1-(1-p)*(1+\alpha)) [/mm] - [mm] N^{-1}(1-p)~) [/mm]

Hi,

da die Verteilungsfunktion der Normalverteilung streng monoton steigend ist, reicht es zu zeigen, dass das Argument der Verteilungsfunktion streng monoton steigend in p ist. Streng monoton steigend in p heißt, dass die Ableitung nach p echt größer als Null ist.

Ableitung des Argumentes nach p, wobei [mm] N^{-1}^{'}[/mm] die Ableitung der Inversen darstellt:

[mm] N^{-1}^{'}(1-(1-p)*(1+\alpha))~*~ (1+\alpha) ~-~ N^{-1}^{'}(1-p) [/mm]


Wie zeige ich, dass dieser Ausdruck echt größer als Null ist? Oder gibt es einen alternativen Weg?


Vielen Dank im Voraus für Anregungen!


Liebe Grüße

michafcc


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!

        
Bezug
Ableitung inverse NV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Do 27.02.2014
Autor: tobit09

Hallo MichaFCC!


> Sei N die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung,
> [mm]\alpha>0[/mm] und [mm]p \in [ \bruch{\alpha}{1+\alpha} , 1 ][/mm] .
>  
> Zeigen Sie, dass die folgende Funktion streng monoton
> steigend in p ist
>  
> [mm]N~(~N^{-1}(1-(1-p)*(1+\alpha))[/mm] - [mm]N^{-1}(1-p)~)[/mm]

Es soll sicherlich $p [mm] \in [/mm] ] [mm] \bruch{\alpha}{1+\alpha} [/mm] , 1 [$ heißen, denn sonst ist die Funktion gar nicht wohldefiniert.


> da die Verteilungsfunktion der Normalverteilung streng
> monoton steigend ist, reicht es zu zeigen, dass das
> Argument der Verteilungsfunktion streng monoton steigend in
> p ist.

Genau.


> Streng monoton steigend in p heißt, dass die
> Ableitung nach p echt größer als Null ist.

Wenn die Funktion differenzierbar ist.

> Ableitung des Argumentes nach p, wobei [mm]N^{-1}^{'}[/mm] die
> Ableitung der Inversen darstellt:

Nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion ist [mm] $N^{-1}$ [/mm] tatsächlich differenzierbar, da $N$ differenzierbar mit $N'(x)>0$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist.

Außerdem gilt nach selbigem Satz: [mm] $N^{-1}'(y)>0$ [/mm] für alle [mm] $y\in]0,1[$. [/mm] (*)


> [mm]N^{-1}^{'}(1-(1-p)*(1+\alpha))~*~ (1+\alpha) ~-~ N^{-1}^{'}(1-p)[/mm]

Vergiss bei der Anwendung der Kettenregel auf den hinteren Teil nicht die innere Ableitung.

> Wie zeige ich, dass dieser Ausdruck echt größer als Null
> ist?

Mit der korrigierten Ableitung folgt das direkt aus (*).


> Oder gibt es einen alternativen Weg?

Ja. Arbeite direkt mit der Definition von strenger Monotonie.

Die Funktion aus der Aufgabenstellung ist streng monoton steigend genau dann, wenn für alle [mm] $p_1,p_2 \in ]\bruch{\alpha}{1+\alpha} [/mm] , 1 [$ mit [mm] $p_1
(**)     [mm] $N~(~N^{-1}(1-(1-p_1)*(1+\alpha))-N^{-1}(1-p_1)~)
Seien also [mm] $p_1,p_2\in ]\bruch{\alpha}{1+\alpha} [/mm] , 1 [$ mit [mm] $p_1
Um (**) zu zeigen, hangele dich schrittweise durch:

Wegen [mm] $p_1
     [mm] $1-p_1>1-p_2$. [/mm]

Weil mit $N$ auch [mm] $N^{-1}$ [/mm] streng monoton steigend ist, folgt

     [mm] $N^{-1}(1-p_1)>N^{-1}(1-p_2)$. [/mm]

Leite nun auch eine Ungleichung zwischen

     [mm] $N^{-1}(1-(1-p_1)*(1+\alpha))$ [/mm]

und

     [mm] $N^{-1}(1-(1-p_2)*(1+\alpha))$ [/mm]

her.

Kommst du damit alleine weiter?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Ableitung inverse NV: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:56 Do 27.02.2014
Autor: MichaFCC

Aufgabe
Sei N die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung,
$ [mm] \alpha>0 [/mm] $ und $ p [mm] \in [/mm] ( [mm] \bruch{\alpha}{1+\alpha} [/mm] , 1 ) $ .

Zeigen Sie, dass die folgende Funktion streng monoton
steigend in p ist

$ [mm] N~(~N^{-1}(1-(1-p)\cdot{}(1+\alpha)) [/mm] $ + $ [mm] N^{-1}(1-p)~) [/mm] $

Hi Tobias,

Danke für die schnelle Antwort. Leider war die Ableitung richtig, aber die Aufgabenstellung fehlerhaft. die Funktion lautet:

[mm] N~(~N^{-1}(1-(1-p)\cdot{}(1+\alpha)) $ + $ N^{-1}(1-p)~) [/mm]


und die Ableitung des Argumentes somit tatsächlich:

[mm] N^{-1}^{'}(1-(1-p)\cdot{}(1+\alpha))~\cdot{}~ (1+\alpha) ~-~ N^{-1}^{'}(1-p) [/mm]


Sorry für den fauxpas -.-

Wie kann ich hier zeigen, dass die Ableitung strikt positiv ist?

Bezug
                        
Bezug
Ableitung inverse NV: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 30.03.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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