Ableitung von einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Di 07.10.2008 | | Autor: | Stan1337 |
| Aufgabe | Differenziere nach der Produktregel
1. [mm] \bruch{1*1}{2*\wurzel{x}*x}
[/mm]
2. [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{x}}{x^2}
[/mm]
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Wie kommt man von 1. zu 2. ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Di 07.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
also von 1. auf 2. kommt man erst einmal ohne die Funktion abzuleiten.
[mm] f(x)=\bruch{ \red{1}\cdot{}1}{2\cdot{}\wurzel{x}\cdot{}x}=\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{x}\cdot{}x}*\red{1}=\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{x}\cdot{}x}*\bruch{\red{\wurzel{x}}}{\red{\wurzel{x}}}=\bruch{1*\red{\wurzel{x}}}{2\cdot{}(\red{\wurzel{x}}*\wurzel{x})\cdot{}x}=\bruch{1*\red{\wurzel{x}}}{2\cdot{}(x)\cdot{}x}=\bruch{1*\red{\wurzel{x}}}{2\cdot{}x^2}=\bruch{1}{2}*\bruch{\red{\wurzel{x}}}{x^2}
[/mm]
So kommst du von der 1. auf die 2. Darstellung. Jetzt musst du f noch ableiten.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Di 07.10.2008 | | Autor: | Stan1337 |
Danke schön =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 07.10.2008 | | Autor: | Stan1337 |
| Aufgabe | Funktion:
f(x) = [mm] \bruch {\wurzel {x}}{x}
[/mm]
1. Ableitung:
f'(x) = - [mm] x^{-2} [/mm] * [mm] x^{0,5} [/mm] + [mm] x^{-1} [/mm] * [mm] 0,5x^{-0,5}
[/mm]
f'(x) = [mm] -\bruch {\wurzel{x}}{x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch {1}{2*\wurzel{x}*x}
[/mm]
= [mm] -\bruch {2*\wurzel {x}}{2*x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch {\wurzel
{x}}{x^{2}}
[/mm]
= - [mm] \bruch {\wurzel{x}}{2*x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch {\wurzel{x}}{x^{2}}
[/mm]
= - [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2*x^{2}} [/mm] |
Ich möchte gerne wissen, wie ich von Schritt zu Schritt komme und wann ich wie erweitern muss ?
Erst erweitert man ja mit 2 und dann mit wurzel x / wurzel x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 07.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Funktion:
> f(x) = [mm]\bruch {\wurzel {x}}{x}[/mm]
>
> 1. Ableitung:
> f'(x) = - [mm]x^{-2}[/mm] * [mm]x^{0,5}[/mm] + [mm]x^{-1}[/mm] * [mm]0,5x^{-0,5}[/mm]
Hier wurde die Quotientenregel benutzt
>
> f'(x) = [mm]-\bruch {\wurzel{x}}{x^{2}}[/mm] + [mm]\bruch {1}{2*\wurzel{x}*x}[/mm]
Das ist nur eine andere Darstellung von f' mit [mm] \wurzel{.}
[/mm]
>
> = [mm]-\bruch {2*\wurzel {x}}{2*x^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch {\wurzel
{x}}{x^{2}}[/mm]
Hier wurde der 1. Summand mit 2 erweitert und der 2, mit [mm] \wurzel{x}
[/mm]
>
> = - [mm]\bruch {\wurzel{x}}{2*x^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch {\wurzel{x}}{x^{2}}[/mm]
Da stimmt etwas nicht. Woher kommt das ?
>
> = - [mm]\bruch{\wurzel{x}}{2*x^{2}}[/mm]
> Ich möchte gerne wissen, wie ich von Schritt zu Schritt
> komme und wann ich wie erweitern muss ?
>
> Erst erweitert man ja mit 2 und dann mit wurzel x / wurzel
> x
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 07.10.2008 | | Autor: | Stan1337 |
Ich habe die Aufgabe von meinem Mathelehrer; wir haben sie bereits verglichen und so scheint sie richtig zu sein.
Die Quotientenregel wendet man meiner Meinung nach auch nur an, um von einer gebrochenen rationalen Funktion die Ableitung zu bilden; der Schritt ist mir auch klar.
Was ich nicht verstehe ist, wieso man einmal mit 2 und einmal mit Wurzel x erweitert. Und vor allem wie was wegfällt.
Vielen Dank für die Bemühungen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Di 07.10.2008 | | Autor: | chrisno |
> Ich habe die Aufgabe von meinem Mathelehrer; wir haben sie
> bereits verglichen und so scheint sie richtig zu sein.
Das Endergebnis stimmt, in dem einen Schritt fehlt ein Term
> Die Quotientenregel wendet man meiner Meinung nach auch
> nur an, um von einer gebrochenen rationalen Funktion die
> Ableitung zu bilden; der Schritt ist mir auch klar.
Das kann sein, dass ihr bisher die Quotientenregel nur in solchen Fällen benutzt habt. Es ist durchaus normal, sie hier einzusetzen. Ich hätte allerdings auch die Produktregel genommen.
>
> Was ich nicht verstehe ist, wieso man einmal mit 2 und
> einmal mit Wurzel x erweitert. Und vor allem wie was
> wegfällt.
>
Es geht um strategische Entscheidungen. Man will das Eregbnis möglichst einfach hinschreiben. Es könnte ja sein, dass man damit noch weiterrechnen muss.
Das Ergebnis nach dem Differenzieren sollte noch aufgeräumt werden.
f'(x) = $ [mm] -\bruch {\wurzel{x}}{x^{2}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch {1}{2\cdot{}\wurzel{x}\cdot{}x} [/mm] $
Da es eine Summe zweier Brüche ist, bietet sich an, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen:
= $ [mm] -\bruch {2\cdot{}\wurzel {x}}{2\cdot{}x^{2}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch {\wurzel {x}}{2 \cdot x^{2}} [/mm] $
Der folgende Schritt richtig hingeschrieben bringt nichts
= - $ [mm] \bruch {\red 2 \wurzel{x}}{2\cdot{}x^{2}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch {\wurzel{x}}{2\cdot x^{2}} [/mm] $
Vielleicht sollte ja das dort stehen:
Variante 1: Ich spalte vom ersten Bruch genau so viel ab, wie im zweiten steht:
= - $ [mm] \bruch {\wurzel{x}}{2\cdot x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch {\wurzel{x}}{2\cdot x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch {\wurzel{x}}{2\cdot x^{2}} [/mm] $
und erreiche damit, dass sich die beiden letzten Brüche wegheben (darum hab ich das ja gemacht)
Variante 2: Ich addiere die Brüche, dafür wurde ja der gemeinsame Nenner gebildet:
$ [mm] \bruch [/mm] {- [mm] 2\wurzel{x} [/mm] + [mm] \wurzel{x}}{2 \cdot x^{2}} [/mm] $
und dann steht auch gleich das Ergebnis da
= - $ [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2\cdot x^{2}} [/mm] $
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