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StartseiteMatheForenKapitel 1: Elementare GruppentheorieAbschnitt 1.2, Aufgabe 5
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Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie" - Abschnitt 1.2, Aufgabe 5
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Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Date: 11:59 Fr 08/09/2006
Author: statler

Aufgabe
Sei $G$ eine endliche Gruppe, [mm] $H_{1}, H_{2}$ [/mm] seien Untergruppen mit [mm] $H_{1} \subset H_{2}$. [/mm] Dann gilt [mm] $(G:H_{1}) [/mm] = [mm] (G:H_{2})*(H_{2}:H_{1})$. [/mm]


        
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:34 Di 12/09/2006
Author: Frusciante

Hallo,

> Sei G eine endliche Gruppe, [mm]H_{1}, H_{2}[/mm] seien Untergruppen
> mit [mm]H_{1} \subset H_{2}.[/mm] Dann gilt [mm](G:H_{1})[/mm] =
> [mm](G:H_{2})*(H_{2}:H_{1}).[/mm]  

Nachtrag: Hatte ganz übersehen, dass [mm] $H_1$ [/mm] nur als Untergruppe von $G$ vorausgesetzt wird. Aber [mm] $H_1$ [/mm] ist damit auch eine Untergruppe von [mm] $H_2$, [/mm] denn die drei Bedingungen i) $e [mm] \in H_1$ [/mm] und ii) [mm] $a,b\in H_1\Rightarrow ab\in H_1$ [/mm] und iii) [mm] $a\in H_1\Rightarrow a^{-1}\in H_1$ [/mm] gelten alle, da es gerade die Bedingungen für die Untergruppeneigenschaft für [mm] $H_1$ [/mm] in $G$ sind.
Damit ist dann auch der Ausdruck [mm] $(H_{2}:H_{1})$ [/mm] definiert.

Endlich mal ein Einzeiler: [mm] $(G:H_1)\stackrel{(\*)}{=}\bruch{\operatorname{ord} G}{\operatorname{ord} H_1}=\bruch{\operatorname{ord} G}{\operatorname{ord} H_2}*\bruch{\operatorname{ord} H_2}{\operatorname{ord} H_1}\stackrel{(\*)}{=}(G:H_2)*(H_2:H_1)$ [/mm]

(*) Anwendung des Satzes von Lagrange

Gruß, Frusciante

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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:05 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo!

> > Sei G eine endliche Gruppe, [mm]H_{1}, H_{2}[/mm] seien Untergruppen
> > mit [mm]H_{1} \subset H_{2}.[/mm] Dann gilt [mm](G:H_{1})[/mm] =
> > [mm](G:H_{2})*(H_{2}:H_{1}).[/mm]  
>
> Nachtrag: Hatte ganz übersehen, dass [mm]H_1[/mm] nur als
> Untergruppe von [mm]G[/mm] vorausgesetzt wird. Aber [mm]H_1[/mm] ist damit
> auch eine Untergruppe von [mm]H_2[/mm], denn die drei Bedingungen i)
> [mm]e \in H_1[/mm] und ii) [mm]a,b\in H_1\Rightarrow ab\in H_1[/mm] und iii)
> [mm]a\in H_1\Rightarrow a^{-1}\in H_1[/mm] gelten alle, da es gerade
> die Bedingungen für die Untergruppeneigenschaft für [mm]H_1[/mm] in
> [mm]G[/mm] sind.
>  Damit ist dann auch der Ausdruck [mm](H_{2}:H_{1})[/mm] definiert.

Genau :)

> Endlich mal ein Einzeiler:
> [mm](G:H_1)\stackrel{(\*)}{=}\bruch{\operatorname{ord} G}{\operatorname{ord} H_1}=\bruch{\operatorname{ord} G}{\operatorname{ord} H_2}*\bruch{\operatorname{ord} H_2}{\operatorname{ord} H_1}\stackrel{(\*)}{=}(G:H_2)*(H_2:H_1)[/mm]
>  
> (*) Anwendung des Satzes von Lagrange

[ok]

LG Felix


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:19 Mi 13/09/2006
Author: Bastiane

Hallo zusammen!

> Sei G eine endliche Gruppe, [mm]H_{1}, H_{2}[/mm] seien Untergruppen
> mit [mm]H_{1} \subset H_{2}.[/mm] Dann gilt [mm](G:H_{1})[/mm] =
> [mm](G:H_{2})*(H_{2}:H_{1}).[/mm]  

Nach dem Satz von Lagrange gilt:

(i) ord G = ord [mm] H_1*(G:H_1) [/mm] und
(ii) ord G = ord [mm] H_2*(G:H_2) [/mm]

Wenn [mm] H_1 [/mm] eine Untergruppe von G ist und gleichzeitig eine Teilmenge von [mm] H_2, [/mm] so ist [mm] H_1 [/mm] auch eine Untergruppe von [mm] H_2 [/mm] (das stimmt doch, oder? Oder muss ich das noch zeigen?), deshalb gilt (ebenfalls nach dem Satz von Lagrange):

ord [mm] H_2 [/mm] = ord [mm] H_1*(H_2:H_1) [/mm]

Umformen von (i) und einsetzen ergibt:

[mm] (G:H_1) [/mm] = [mm] \bruch{ord G}{ord H_1} [/mm] = [mm] \bruch{ord H_2*(G:H_2)}{ord H_1} [/mm] = [mm] \bruch{ord H_1*(H_2:H_1)*(G:H_2)}{ord H_1} [/mm] = [mm] (G:H_{2})*(H_{2}:H_{1}) [/mm]

Oder darf ich hier eine dieser Umformungen gar nicht machen?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:06 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo Bastiane!

> > Sei G eine endliche Gruppe, [mm]H_{1}, H_{2}[/mm] seien Untergruppen
> > mit [mm]H_{1} \subset H_{2}.[/mm] Dann gilt [mm](G:H_{1})[/mm] =
> > [mm](G:H_{2})*(H_{2}:H_{1}).[/mm]  
>
> Nach dem Satz von Lagrange gilt:
>  
> (i) ord G = ord [mm]H_1*(G:H_1)[/mm] und
> (ii) ord G = ord [mm]H_2*(G:H_2)[/mm]
>  
> Wenn [mm]H_1[/mm] eine Untergruppe von G ist und gleichzeitig eine
> Teilmenge von [mm]H_2,[/mm] so ist [mm]H_1[/mm] auch eine Untergruppe von [mm]H_2[/mm]
> (das stimmt doch, oder? Oder muss ich das noch zeigen?),

Das stimmt. Eigentlich musst du es auch noch zeigen, aber es reicht wenn du dir das ueberlegst ;-)

> deshalb gilt (ebenfalls nach dem Satz von Lagrange):
>  
> ord [mm]H_2[/mm] = ord [mm]H_1*(H_2:H_1)[/mm]
>  
> Umformen von (i) und einsetzen ergibt:
>  
> [mm](G:H_1)[/mm] = [mm]\bruch{ord G}{ord H_1}[/mm] = [mm]\bruch{ord H_2*(G:H_2)}{ord H_1}[/mm]
> = [mm]\bruch{ord H_1*(H_2:H_1)*(G:H_2)}{ord H_1}[/mm] =
> [mm](G:H_{2})*(H_{2}:H_{1})[/mm]

[ok]

> Oder darf ich hier eine dieser Umformungen gar nicht
> machen?

Doch, doch...

LG Felix


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:38 Do 14/09/2006
Author: Docy

Hallo,
also dann versuche ich es mal:

Sei G eine endliche Gruppe, [mm] H_{1}, H_{2} [/mm] seien Untergruppen mit [mm] H_{1} \subset H_{2}. [/mm] Dann gilt [mm] (G:H_{1}) [/mm] = [mm] (G:H_{2})\cdot{}(H_{2}:H_{1}). [/mm]

Beweis:
Nach dem Satz von Lagrange gilt:
(1)   ord G = ord [mm] H_1\cdot{}(G [/mm] : [mm] H_1) [/mm]
(2)   ord G = ord [mm] H_2\cdot{}(G [/mm] : [mm] H_2) [/mm]
(3)   ord [mm] H_2 [/mm] = ord [mm] H_1\cdot{}(H_2 [/mm] : [mm] H_1) [/mm] ,  da [mm] H_1, H_2 [/mm] Untergruppen sind und [mm] H_1 \subset H_2, [/mm] kann [mm] H_1 [/mm] als Untergruppe von [mm] H_2 [/mm] aufgefasst werden.

Weiterhin kann man (1) und (2) gleichsetzen:
ord [mm] H_1\cdot{}(G [/mm] : [mm] H_1) [/mm] = ord [mm] H_2\cdot{}(G [/mm] : [mm] H_2). [/mm]

Dann ersetzt man ord [mm] H_2 [/mm] durch (3):
ord [mm] H_1\cdot{}(G [/mm] : [mm] H_1) [/mm] = ord [mm] H_1\cdot{}(H_2 [/mm] : [mm] H_1)\cdot{}(G [/mm] : [mm] H_2). [/mm]

Daraus folgt:
(G : [mm] H_1) [/mm] = [mm] (H_2 [/mm] : [mm] H_1)\cdot{}(G [/mm] : [mm] H_2). [/mm]

Gruß
Docy


Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:07 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo Docy!

> also dann versuche ich es mal:
>  
> Sei G eine endliche Gruppe, [mm]H_{1}, H_{2}[/mm] seien Untergruppen
> mit [mm]H_{1} \subset H_{2}.[/mm] Dann gilt [mm](G:H_{1})[/mm] =
> [mm](G:H_{2})\cdot{}(H_{2}:H_{1}).[/mm]
>  
> Beweis:
>  Nach dem Satz von Lagrange gilt:
>  (1)   ord G = ord [mm]H_1\cdot{}(G[/mm] : [mm]H_1)[/mm]
>  (2)   ord G = ord [mm]H_2\cdot{}(G[/mm] : [mm]H_2)[/mm]
>  (3)   ord [mm]H_2[/mm] = ord [mm]H_1\cdot{}(H_2[/mm] : [mm]H_1)[/mm] ,  da [mm]H_1, H_2[/mm]
> Untergruppen sind und [mm]H_1 \subset H_2,[/mm] kann [mm]H_1[/mm] als
> Untergruppe von [mm]H_2[/mm] aufgefasst werden.

Exakt :)

> Weiterhin kann man (1) und (2) gleichsetzen:
>  ord [mm]H_1\cdot{}(G[/mm] : [mm]H_1)[/mm] = ord [mm]H_2\cdot{}(G[/mm] : [mm]H_2).[/mm]
>  
> Dann ersetzt man ord [mm]H_2[/mm] durch (3):
>  ord [mm]H_1\cdot{}(G[/mm] : [mm]H_1)[/mm] = ord [mm]H_1\cdot{}(H_2[/mm] :
> [mm]H_1)\cdot{}(G[/mm] : [mm]H_2).[/mm]
>  
> Daraus folgt:
>  (G : [mm]H_1)[/mm] = [mm](H_2[/mm] : [mm]H_1)\cdot{}(G[/mm] : [mm]H_2).[/mm]

[ok]

LG Felix


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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 08:48 Fr 15/09/2006
Author: phrygian

Beweis:
Mit dem Satz von Lagrange folgt einerseits

[mm] [center]$ord(G)=ord(H_1)*(G:H_1)$,[/center] [/mm]

andererseits

[mm] [center]$ord(G)=ord(H_2)*(G:H_2)$.[/center] [/mm]

Also ist

[mm] [center]$ord(H_1)*(G:H_1)=ord(H_2)*(G:H_2)$[/center] [/mm]

und daher

[mm] [center]$(G:H_1)=\bruch{ord(H_2)}{ord(H_1)}*(G:H_2)$\; [/mm] . [mm] \qquad [/mm] (*)[/center]

Ausserdem ist auch [mm] $H_2$ [/mm] endlich und [mm] $H_1$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $H_2$. [/mm] Daher folgt wieder mit dem Satz von Lagrange, daß

[mm] [center]$ord(H_2)=ord(H_1)*(H_2:H_1)$[/center] [/mm]

ist und damit

[mm] [center]$(H_2:H_1)=\bruch{ord(H_2)}{ord(H_1)}$.[/center] [/mm]

Durch Einsetzen der letzten Gleichung in (*) erhält man die Behauptung.

[mm] \Box [/mm]

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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:08 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo phrygian!

> Beweis:
>  Mit dem Satz von Lagrange folgt einerseits
>  
> [mm]ord(G)=ord(H_1)*(G:H_1)[/mm],
>  
> andererseits
>  
> [mm]ord(G)=ord(H_2)*(G:H_2)[/mm].
>  
> Also ist
>
> [mm]ord(H_1)*(G:H_1)=ord(H_2)*(G:H_2)[/mm]
>  
> und daher
>  
> [mm](G:H_1)=\bruch{ord(H_2)}{ord(H_1)}*(G:H_2)[/mm][mm] \;[/mm] . [mm]\qquad[/mm] (*)
>  
> Ausserdem ist auch [mm]H_2[/mm] endlich und [mm]H_1[/mm] eine Untergruppe von
> [mm]H_2[/mm]. Daher folgt wieder mit dem Satz von Lagrange, daß
>  
> [mm]ord(H_2)=ord(H_1)*(H_2:H_1)[/mm]
>  
> ist und damit
>  
> [mm](H_2:H_1)=\bruch{ord(H_2)}{ord(H_1)}[/mm].
>  
> Durch Einsetzen der letzten Gleichung in (*) erhält man die
> Behauptung.

Sehr laessig, der Leser darf auch etwas mitdenken warum das denn nun die Aussage beweist ;-)

[ok]

LG Felix


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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:07 Sa 16/09/2006
Author: phrygian

Hallo Felix

> Sehr laessig, der Leser darf auch etwas mitdenken warum das
> denn nun die Aussage beweist ;-)

Darf er, sonst wird's ihm doch langweilig ;-) .
Nein, ernsthaft: Hätte ich das ausführlicher aufschreiben sollen?

Gruß, phrygian

P.S.: Danke fürs Korrigieren!

Bezug
                                
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 18:45 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo phrygian!

> > Sehr laessig, der Leser darf auch etwas mitdenken warum das
> > denn nun die Aussage beweist ;-)
>  
> Darf er, sonst wird's ihm doch langweilig ;-) .

Jep ;)

>  Nein, ernsthaft: Hätte ich das ausführlicher aufschreiben
> sollen?

Nein, das ist schon ok so!

LG Felix


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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:22 Fr 15/09/2006
Author: just-math

Hallo statler und alle die andere,

hier ist just-math, ich war einiges Zeit nicht in Matheraum, aber kann ich bei Algebra Training noch mitmachen ?

Ich probiere einfach mal dieses Aufgabe ok ?

[mm] (G:H_1)= |\{gH_1|g\in G\}|. [/mm] Weil [mm] H_1\subseteq H_2, [/mm] so ist jedes [mm] gH_1 [/mm] in eines von den [mm] g'H_2 [/mm] enthalten. Beweis davon:
Sei [mm] g\in [/mm] G. Es ist [mm] gH_1=\{gh|h\in H_1\}\subseteq \{gh|h\in H_2\}=gH_2. [/mm] Es ist also sogar [mm] gH_1\subseteq gH_2. [/mm]

Jedes [mm] gH_2 [/mm] ist also Vereinigung von Nebenklassen [mm] g'H_1. [/mm]  Von wieviele ? Nun,
Sei [mm] g\in [/mm] G und  [mm] h_1H_1=h_2H_1\: (h_1,h_2\in H_2), [/mm] dann ist [mm] gh_1H_1=gh_2H_2. [/mm]
Sei nun   [mm] h_1,h_2\in H_2 [/mm] und [mm] g\in [/mm] G mit [mm] gh_1H_1=gh_2H_1. [/mm] Dann gilt es auch [mm] h_1H_1=h_2H_2, [/mm] somit
zerlegt jedes [mm] gH_2 [/mm] in genau [mm] (H_2:H_1) [/mm] Nebenklassen von [mm] H_1 [/mm] und es ist bewiesen.

Liebe Grusse

just-math


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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:11 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo just-math!

> hier ist just-math, ich war einiges Zeit nicht in
> Matheraum, aber kann ich bei Algebra Training noch
> mitmachen ?

Klar, kannst du natuerlich!

> Ich probiere einfach mal dieses Aufgabe ok ?
>  
> [mm](G:H_1)= |\{gH_1|g\in G\}|.[/mm] Weil [mm]H_1\subseteq H_2,[/mm] so ist
> jedes [mm]gH_1[/mm] in eines von den [mm]g'H_2[/mm] enthalten. Beweis davon:
>  Sei [mm]g\in[/mm] G. Es ist [mm]gH_1=\{gh|h\in H_1\}\subseteq \{gh|h\in H_2\}=gH_2.[/mm]
> Es ist also sogar [mm]gH_1\subseteq gH_2.[/mm]
>  
> Jedes [mm]gH_2[/mm] ist also Vereinigung von Nebenklassen [mm]g'H_1.[/mm]  
> Von wieviele ? Nun,
> Sei [mm]g\in[/mm] G und  [mm]h_1H_1=h_2H_1\: (h_1,h_2\in H_2),[/mm] dann ist
> [mm]gh_1H_1=gh_2H_2.[/mm]
> Sei nun   [mm]h_1,h_2\in H_2[/mm] und [mm]g\in[/mm] G mit [mm]gh_1H_1=gh_2H_1.[/mm]
> Dann gilt es auch [mm]h_1H_1=h_2H_2,[/mm] somit
> zerlegt jedes [mm]gH_2[/mm] in genau [mm](H_2:H_1)[/mm] Nebenklassen von [mm]H_1[/mm]
> und es ist bewiesen.

[ok]

Wobei du hier noch einiges benutzt (Nebenklassen sind gleich oder disjunkt) und praktisch den Satz von Lagrange neu beweist. Den Satz von Lagrange kannst du auch ruhig direkt benutzen, dann geht das ganze etwas eleganter (siehe die anderen Loesungen).

LG Felix


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