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Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie" - Abschnitt 1.3, Zusatzaufgabe
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Abschnitt 1.3, Zusatzaufgabe: Zusatzaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:59 Fr 15.09.2006
Autor: statler

Zusatzaufgabe (aus Rotman, An Introduction to the Theory of Groups)

Aufgabe
Seien $G$ eine endliche Gruppe und $S$ und $T$ zwei (nicht notwendig verschiedene) Teilmengen von $G$. Dann gilt $G = ST$ oder $|G| [mm] \ge [/mm] |S| + |T|$.

In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder $G = ST$ oder $|G| [mm] \ge [/mm] |S| + |T|$. Ist das auch richtig?

Dabei ist $ST := [mm] \{st| s \in S, t \in T\}$. [/mm] $ST$ ist selbst dann nicht unbedingt eine Untergruppe, wenn $S$ und $T$ es sind.




        
Bezug
Abschnitt 1.3, Zusatzaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:05 Fr 22.09.2006
Autor: felixf

Sali zusammen!

Hat sich eigentlich schon jemand diese Aufgabe hier angeschaut? Da sie so weit hinten in der Liste steht befuerchte ich gerade das ihr sie uebersehen habt. Oder ist sie zu schwierig?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.3, Zusatzaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:59 Fr 22.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo Felix,

> Hat sich eigentlich schon jemand diese Aufgabe hier
> angeschaut? Da sie so weit hinten in der Liste steht
> befuerchte ich gerade das ihr sie uebersehen habt. Oder ist
> sie zu schwierig?

Angeschaut schon, bin aber noch auf keine Lösung gekommen. Wenn keiner sehnsüchtig auf eine Lösung wartet, würde ich auch gerne noch weiter darüber nachdenken (möchte den Kurs aber nicht deswegen aufhalten).

Gruß,
Frusciante

Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.3, Zusatzaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Sa 23.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo,

> Zusatzaufgabe (aus Rotman, An Introduction to the Theory of
> Groups)
>  
> Seien G eine endliche Gruppe und S und T zwei (nicht
> notwendig verschiedene) Teilmengen von G. Dann gilt G = ST
> oder |G| [mm]\ge[/mm] |S| + |T|.

Dies ist nun doch überraschend einfach zu zeigen:

Es sei [mm] $G\not=ST$. [/mm]

[mm] $\Rightarrow\ G\stackrel{\supset}{\not=}ST$ ($G\stackrel{\subset}{\not=}ST$ [/mm] ist nicht möglich)

[mm] $\Rightarrow\ \exists g\in [/mm] G\ :\ [mm] (\forall s\in [/mm] S,\ [mm] t\in [/mm] T\ :\ [mm] st\not=g)$ [/mm]

Es sei [mm] $S=\{s_1,\ldots,s_n\}$. [/mm]

In G existiert für jedes [mm] $s_i\in [/mm] S$ genau ein [mm] $s_i'\in [/mm] G$ mit [mm] $s_i*s_i'=g$. [/mm]
Keines dieser [mm] $s_i'$ [/mm] darf in T liegen (sonst wäre [mm] $g\in [/mm] ST$):

[mm] $\Rightarrow\ T\subset G\setminus\{s_1',\ldots,s_n'\}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow\ |T|\le [/mm] |G|-|S|$

[mm] $\Rightarrow\ |T|+|S|\le [/mm] |G|$

[mm] $\Box$ [/mm]


> In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder G = ST
> oder |G| [mm]\ge[/mm] |S| + |T|. Ist das auch richtig?

Gegenbeispiel:

[mm] $G=(\IZ/4\IZ,+)=\{0,1,2,3\}$ [/mm]

[mm] $S:=\{0,1\}, T:=\{1,3\}$ [/mm]

[mm] $ST=\{0+1,0+3,\ 1+1,1+3\}=\{1,3,\ 2,0\}=G$ [/mm]

und [mm] $4=|G|\ge|S|+|T|=2+2$ [/mm]

In diesem Fall gilt also $G=ST$ und $|G| [mm] \ge [/mm] |S| + |T|$. [mm] $\Box$ [/mm]

Ist das dann tatsächlich ein Fehler im Buch?

Viele Grüße, Frusciante

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.3, Zusatzaufgabe: Prima
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 So 24.09.2006
Autor: statler


> Hallo,
>  
> > Zusatzaufgabe (aus Rotman, An Introduction to the Theory of
> > Groups)
>  >  
> > Seien G eine endliche Gruppe und S und T zwei (nicht
> > notwendig verschiedene) Teilmengen von G. Dann gilt G = ST
> > oder |G| [mm]\ge[/mm] |S| + |T|.
>  
> Dies ist nun doch überraschend einfach zu zeigen:

Ganz typisch, ging mir genauso.

> Es sei [mm]G\not=ST[/mm].
>  
> [mm]\Rightarrow\ G\stackrel{\supset}{\not=}ST[/mm]
> ([mm]G\stackrel{\subset}{\not=}ST[/mm] ist nicht möglich)
>  
> [mm]\Rightarrow\ \exists g\in G\ :\ (\forall s\in S,\ t\in T\ :\ st\not=g)[/mm]
>  
> Es sei [mm]S=\{s_1,\ldots,s_n\}[/mm].
>  
> In G existiert für jedes [mm]s_i\in S[/mm] genau ein [mm]s_i'\in G[/mm] mit
> [mm]s_i*s_i'=g[/mm].
>  Keines dieser [mm]s_i'[/mm] darf in T liegen (sonst wäre [mm]g\in ST[/mm]):
>  
> [mm]\Rightarrow\ T\subset G\setminus\{s_1',\ldots,s_n'\}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow\ |T|\le |G|-|S|[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow\ |T|+|S|\le |G|[/mm]
>  
> [mm]\Box[/mm]
>  
>
> > In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder G = ST
> > oder |G| [mm]\ge[/mm] |S| + |T|. Ist das auch richtig?
>  
> Gegenbeispiel:
>  
> [mm]G=(\IZ/4\IZ,+)=\{0,1,2,3\}[/mm]
>  
> [mm]S:=\{0,1\}, T:=\{1,3\}[/mm]
>  
> [mm]ST=\{0+1,0+3,\ 1+1,1+3\}=\{1,3,\ 2,0\}=G[/mm]
>  
> und [mm]4=|G|\ge|S|+|T|=2+2[/mm]
>  
> In diesem Fall gilt also [mm]G=ST[/mm] und [mm]|G| \ge |S| + |T|[/mm]. [mm]\Box[/mm]
>  
> Ist das dann tatsächlich ein Fehler im Buch?

Naja, in dem Buch stand 'either - or', was ich aber immer mit 'entweder - oder' übersetze, und das stimmt offenbar nicht, wie du hier gerade schlüssig vorgeführt hast.

Ist das nicht ein schönes Gefühl, wenn einem nach gehörigem Nachdenken alles sonnenklar ist?

Schöne Sonntagsgrüße
Dieter


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