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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:09 Do 12.05.2005 | | Autor: | Fabio |
Hallo,
ich habe zu einer Mathematikaufgabe eine Lösung, die ich nicht ganz verstehe und hoffe, hier geholfen zu werden. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Es geht um Abbildungen und Matrizen. Man soll zu einer Matrix A= [mm] \pmat{ 10 & -5 \\ -6 & 3 } [/mm] alle Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] bestimmen, die die Gleichung A*x=0 erfüllen. Den Vektor [mm] \vec{x} [/mm] habe ich gefunden er lautet [mm] \vec{x}=\vektor{r \\ 2r}. [/mm] D.h. alle Punkte auf der Ursprungsgeraden werden auf den Ursprung abgebildet. Was ich nicht verstehe ist, daß dann gesagt wird, daß das Bild der Ebene R², die zu y=2x orthogonale Gerade zu [mm] y=-\bruch{1}{2}x [/mm] ist. Was ist diese Gleichung und welche Funktion hat Sie.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Do 12.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Alessandro!
> Hallo,
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> ich habe zu einer Mathematikaufgabe eine Lösung, die ich
> nicht ganz verstehe und hoffe, hier geholfen zu werden. Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt. Es geht um Abbildungen und Matrizen. Man soll zu
> einer Matrix A= [mm]\pmat{ 10 & -5 \\ -6 & 3 }[/mm] alle Vektoren
> [mm]\vec{x}[/mm] bestimmen, die die Gleichung A*x=0 erfüllen. Den
> Vektor [mm]\vec{x}[/mm] habe ich gefunden er lautet
> [mm]\vec{x}=\vektor{r \\ 2r}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> D.h. alle Punkte auf der
> Ursprungsgeraden werden auf den Ursprung abgebildet. Was
> ich nicht verstehe ist, daß dann gesagt wird, daß das Bild
> der Ebene R², die zu y=2x orthogonale Gerade zu
> [mm]y=-\bruch{1}{2}x[/mm] ist. Was ist diese Gleichung und welche
> Funktion hat Sie.
Nunja, wenn du dir deine Lösungsmenge anguckst:
[mm] $\IL=\left\{\vektor{r\\2r}:\;r \in \IR\right\}$
[/mm]
so kann man dies auch beschreiben, da die erste Komponente als $x$-Koordinate und die zweite Komponente als $y$-Koordinate im kartesischen Koordinatensystem interpretiert werden kann, durch die Gleichung:
$x=r$, $y=2r$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$y=2x$
Ich schreibe anstelle des $y$'s jetzt mal [mm] $f_1(x)$:
[/mm]
[mm] $f_1(x)=2x$
[/mm]
Derartige Gleichungen kennst du ja aus der Schule, und du weißt, dass durch [mm] $f_1$ [/mm] eine Ursprungsgerade mit der Steigung $2$ beschrieben wird.
Betrachtest du nun die Gerade gegeben durch [mm] $y=-\,\frac{1}{2}x$ [/mm] bzw. [mm] $f_2(x)=-\,\frac{1}{2}x$, [/mm] deren Steigung ja [mm] $-\,\frac{1}{2}$ [/mm] ist, so stehen die Geraden gegeben durch [mm] $f_2$ [/mm] und [mm] $f_1$ [/mm] senkrecht aufeinander, da das Produkt der Steigungen:
[mm] $2*\left(-\,\frac{1}{2}\right)=-1$ [/mm] eben, wie die Rechnung zeigt, $-1$ ergibt!
Daher sollte man sagen, dass [mm] $\IL$ [/mm] gerade die Gerade beschreibt, die zu der durch die Gleichung [mm] $y=-\,\frac{1}{2}x$ [/mm] gegebenen Geraden orthogonal ist und durch den Ursprung geht (es gibt nämlich [mm] $\infty$ [/mm] viele Geraden, die zu der durch die Gleichung [mm] $y=-\,\frac{1}{2}x$ [/mm] gegebenen Geraden senkrecht stehen! Aber nur genau eine solche Ursprungsgerade!)
edit: ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , ich hatte das alles wohl zu geometrisch interpretiert, anstatt die mathematische Definition des Begriffes $Bild$ zu benutzen. Ergänzend dazu siehe bitte hier!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Do 12.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Marcel,
hast du eigentlich auch überprüft, dass diese Gerade das Bild ist?
Ich denke eigentlich, dass das Bild durch $ [mm] \{ r*\vektor{-5\\3} \} [/mm] $ bestimmt ist, das entspricht doch der Geraden $ [mm] y=-\bruch{3}{5}*x [/mm] $ , oder?
Weshalb sollte auch immer das Bild senkrecht auf dem Kern stehen?
Falls ich recht habe, sollte man aber noch ein paar mehr Worte über Bild und Kern bei Endomorphismen verlieren.
Oder übersehe ich gerade etwas? (Ist noch früh am Morgen)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Do 12.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas!
> Hi Marcel,
>
> hast du eigentlich auch überprüft, dass diese Gerade das
> Bild ist?
Nunja, ich hatte die Frage mit "... daß das Bild der Ebene R² ... " jetzt eher anschaulich/geometrisch interpretiert und bin daher nicht auf die mathematische Defintion der Begriffe Kern und Bild eingegangen...
Es ist aber in der Tat:
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]Bild(A)=\left\{\vektor{10r-5s\\-6r+3s}:\;r,s \in \IR\right\}=\left\{r*\vektor{10\\-6}+s*\vektor{-5\\3}:\;r,s \in \IR\right\}=\left\{s*\vektor{-5\\3}:\;s \in \IR\right\}[/mm], da die Menge [mm] $\left\{\vektor{10\\-6},\;\vektor{-5\\3}\right\}$ [/mm] linear abhängig ist...
> Ich denke eigentlich, dass das Bild durch [mm]\{ r*\vektor{-5\\3} \}[/mm]
> bestimmt ist, das entspricht doch der Geraden
> [mm]y=-\bruch{3}{5}*x [/mm] , oder?
Ja!
> Weshalb sollte auch immer das Bild senkrecht auf dem Kern
> stehen?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") . Aber ich hatte die Frage evtl. falsch verstanden, bzw. hab da wohl zu viel Geometrie hineininterpretiert!
> Falls ich recht habe, sollte man aber noch ein paar mehr
> Worte über Bild und Kern bei Endomorphismen verlieren.
Kannst du gerne noch machen, ich habe das hier alles (fälschlicherweise?) nur geometrisch interpretiert, siehe oben!
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Do 12.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Fabio, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Also wie Marcel schon geschrieben hat, ist die senkrechte Gerade genau die, die du angegeben hast, ABER es ist nicht die Gerade, die entsteht, wenn man alle Vektoren des R² auf A anwendet - das nennt man das Bild von A.
Die Vektoren x, die Ax=0 erfüllen heißen der Kern von A.
Angenommen du hast eine lineare Abbildung f von X nach Y, dann ist der Kern ein Unterraum von X aber das Bild ein Unterraum von Y.
Wenn dein f nun aber von X nach X geht (das nennt man Endomorphismus), dann sind beide jeweils ein Unterraum von X und sie sind beide disjunkt (bis auf den Nullvektor, der muss ja in jedem Unterraum drinne sein).
Was heißt das nun speziell?
Du hast schon heraus gefunden, dass der Kern der Abbildung eindimensional ist, das heißt das Bild muss auch eindimensional sein, denn zusammen müssen sie die Dimension des ganzen R² haben [Bild-Kern-Formel].
Jetzt beachte aber: ein eindimensionaler Unterraum ist eine Gerade, d.h. das Bild ist nicht der komplette Rest-Raum der entsteht, wenn man den Kern entfernt, sondern nur eine andere (Ursprungs-) Gerade.
Und diese gilt es nun zu finden.
Es ist hier einfach, denn du musst nur EINEN Vektor finden, der im Bild liegt, dann ist das Bild die Gerade durch diesen Vektor.
[Wenn das Bild mehr Dimensionen hat, muss man entsprechend viele linear unabhängige Vektoren im Bild finden.]
Wie findet man so einen Vektor?
Ganz einfach : bilde einen Vektor mit A ab, der nicht im Kern liegt, z.B. $ [mm] \vektor{0\\1} [/mm] $ - dann bekommst du den Vektor raus, den ich vorher schon als das Bild-erzeugend identifiziert habe.
Wie man nun die Geradengleichung zu dieser Linearkombination des Vektors findet, hat dir Marcel schon sehr schön beschrieben.
Es ist also ein Unterschied, ob man die orthogonale Gerade zum Kern sucht oder überprüfen will, ob Bild(A) orthogonal zum Kern verläuft.
Ich hoffe dies macht die Diskussion etwas klarer.
einen sonnigen Tag wünschend
DaMenge
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