matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenKapitel 1: Elementare GruppentheorieAlternative Def. Normalteiler
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie" - Alternative Def. Normalteiler
Alternative Def. Normalteiler < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Alternative Def. Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 So 10.09.2006
Autor: phrygian

Hallo allerseits!

Auf S.17 nach der Definition 4 steht, daß eine Untergruppe [mm] $H\subset [/mm]  G$ bereits dann Normalteiler in $G$ ist, wenn [mm] $aHa^{-1}\subset [/mm] H$ für alle [mm] $a\in [/mm] G$ gilt.
Ich habe versucht, aus der kurzen Begründung, die dann folgt, einen Beweis zu formulieren, bin mir aber nicht ganz sicher, ob er korrekt ist. Es wäre schön, wenn jemand ihn überprüfen könnte.

Behauptung:
[mm] [quote]$\forall a\in [/mm] G: [mm] aHa^{-1} \subset [/mm]  H [mm] \Rightarrow \forall a\in [/mm] G: aH=Ha$.[/quote]

Beweis:
Für alle [mm] $a\in [/mm] G$ gelte [mm] $aHa^{-1} \subset [/mm]  H$.
Sei [mm] $a\in [/mm] G$ beliebig. Zu zeigen ist, daß $aH=Ha$ ist.
[mm] "$\subset$": [/mm] Sei [mm] $x\in [/mm] aH$ beliebig. Dann gibt es ein [mm] $h\in [/mm] H$ mit $x=ah$. Es folgt [mm] $x=ahe=aha^{-1}a$. [/mm] Da [mm] $aHa^{-1} \subset [/mm]  H$ gilt, ist [mm] $aha^{-1} \in [/mm] H$ und daher [mm] $x\in [/mm] Ha$.
[mm] "$\supset$": [/mm] Nach Voraussetzung gilt auch [mm] $a^{-1}Ha=a^{-1}H(a^{-1})^{-1} \subset [/mm] H$.
Sei nun [mm] $x\in [/mm] Ha$ beliebig. Dann gibt es ein [mm] $h\in [/mm] H$ mit $x=ha$. Wiederum folgt [mm] $x=eha=aa^{-1}ha$, [/mm] und da [mm] $a^{-1}ha\in [/mm] H$ ist, ist [mm] $x\in [/mm] aH$.

[mm] \Box [/mm]

Stimmt's so?

Gruß, phrygian

        
Bezug
Alternative Def. Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Mo 11.09.2006
Autor: statler

Hallo phrygian,

so kann man das machen. Es ist dann übrigens [mm] a^{-1}Ha [/mm] = H [mm] \forall [/mm] a, was ich mal in grauer Vorzeit als Def. für Normalteiler gelernt habe.

Gruß und schöne Woche
Dieter

PS: Ist das mit deiner Lösung zu 1.1, Aufg. 5 inzwischen klar?


Bezug
                
Bezug
Alternative Def. Normalteiler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Mo 11.09.2006
Autor: phrygian

Hallo Dieter,

> so kann man das machen.

O.K., danke fürs Überprüfen!

> Ist das mit deiner Lösung zu 1.1, Aufg. 5 inzwischen klar?

Ja, aus irgend einem Grund konntet ihr sie nicht lesen, obwohl ich sie als Lösung markiert hatte. Marc hat den Fehler behoben und Felix die Aufgabe korrigert.

Auch dir eine schöne Woche!

Gruß, phrygian

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]