Aufgabe zum Quotientenraum und Quotientennorm. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:36 Mo 10.05.2004 | | Autor: | THAR |
Hallo erstmal.
Ich habe folgende Aufgabe zu loesen:
Seien [mm] (X,||.||_x) [/mm] ein normierter [mm] \IK [/mm] - Vektorraum, und [mm] X_0 [/mm] ein abgeschlossener [mm] \IK [/mm] - Untervektorraum.
Es ist zu zeigen, dass [mm] ||.||(X/X_0) : X \rightarrow \IR, [x] \rightarrow ||[x]||(X/X_0) [/mm], wobei [mm] ||[x]||(X/X_0) := inf \{||x-y||_X ; y \in X_0 \} [/mm], eine Norm auf dem Quotientenraum [mm] X/X_0 [/mm] ist.
Ich habe schon die erste Eigenschaft der Norm gezeigt, und zwar:
Fuer alle [mm] [x] \in X/X_0 : ||[x]||(X/X_0) > 0 [/mm].
Ich weiss allerdings nicht wie ich zeigen soll, dass
[mm] ||[x]||(X/X_0) = 0 \gdw [x] = 0[/mm].
Wahrscheinlich bertrachte ich die falsche 0
Fuer Antworten danke ich im Voraus
PS: Mir faellt gerade ein, dass die 0 in [mm] X/X_0 \ X_0 [/mm] ist. Stimmt das.
Dann muesste die Sache doch schon durchgehen oder nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Thar,
> Ich habe folgende Aufgabe zu loesen:
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> Seien [mm](X,||.||_x)[/mm] ein normierter [mm]\IK[/mm] - Vektorraum, und [mm]X_0[/mm]
> ein abgeschlossener [mm]\IK[/mm] - Untervektorraum.
>
> Es ist zu zeigen, dass [mm]||.||(X/X_0) : X \rightarrow \IR, [x] \rightarrow ||[x]||(X/X_0) [/mm],
> wobei [mm]||[x]||(X/X_0) := inf \{||x-y||_X ; y \in X_0 \} [/mm],
> eine Norm auf dem Quotientenraum [mm]X/X_0[/mm] ist.
>
> Ich habe schon die erste Eigenschaft der Norm gezeigt, und
> zwar:
> Fuer alle [mm][x] \in X/X_0 : ||[x]||(X/X_0) > 0 [/mm].
Das ist zunächst einmal falsch. Hier muss "[mm]\ge[/mm]" stehen.
Fangen wir aber mal ganz von vorne an. 
Also: Zunächst einmal musst du zeigen, dass diese Norm wohldefiniert ist, also nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt. Das fehlt noch.
> Ich weiss allerdings nicht wie ich zeigen soll, dass
> [mm]||[x]||(X/X_0) = 0 \gdw [x] = 0[/mm].
>
> Wahrscheinlich bertrachte ich die falsche 0
>
> Fuer Antworten danke ich im Voraus
>
> PS: Mir faellt gerade ein, dass die 0 in [mm]X/X_0 \ X_0[/mm] ist.
> Stimmt das.
> Dann muesste die Sache doch schon durchgehen oder nicht
Ja, in der Tat. Beachte aber bitte die Abgeschlossenheit von [mm]X_0[/mm] !! (Sonst ist das im Allgemeinen falsch.)
Poste mal bitte deinen Lösungsvorschlag zur Kontrolle.
Wie sieht es mit den anderen Normeigenschaften aus?
Liebe Grüße
Julius
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