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Forum "Algebra" - Aussagen über minimale PZ
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Aussagen über minimale PZ: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:05 Di 12.12.2017
Autor: knowhow

Aufgabe
Sei R ein Integritätsbereich der Dimension dim(R)=1 und [mm] 0\neq I\vartriangleleft [/mm] R. Zeige folgende Aussagen:

(1) Ist [mm] I=Q_1\cap...\cap Q_n [/mm] minimal Primärzerlegung, so ist [mm] I=Q_1\cdots Q_n. [/mm]

(2) Ist R noethersch, so ist I ein endliches Produkt von primären Idealen [mm] Q_i [/mm] mit [mm] \wurzel{Q_i}\neq \wurzel{Q_j} [/mm] für [mm] i\neq [/mm] j, wobei die Faktoren bis auf die Reihenfolge eindeutig sind.

Guten Abend,

meine Überlegung ist,

zu (1) da gegeben ist, dass [mm] I=Q_1\cap...Q_n, [/mm] dann ist [mm] \wurzel{Q_i}\neq \wurzel{Q_j} [/mm] für [mm] i\neq [/mm] j und weiter ist [mm] \bigcap_{j\neq i} Q_j [/mm] nicht in [mm] Q_i [/mm] enthalten für i=1,...,n

und da dim(R)=1 und R integritätsbereich ist , ist jedes Primideal [mm] P=\wurzel{Q_i} [/mm] auch maximal.

Dann gilt mit dem chinesischen Restsatz:

[mm] R/I=R/Q_1\cap...\cap Q_n\cong R/Q_1\cdots Q_n [/mm]

Ist das soweit richtig? Kann mir jemand da helfen. Ich bin für jeden Tipp dankbar.

        
Bezug
Aussagen über minimale PZ: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Do 14.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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