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Axiome: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:36 Mi 20.10.2004
Autor: Meninto

Hallo

Ich hoffe ich habe es ins richtige Forum gestellt...
Es geht um den Beweis dass ein Axiom gilt, aus 2 anderen Axiomen.
Ich hoffe die Frage ist klar gestellt,
also
Beweise dass Axiom III gilt dafür sind die Axiom I und II gegebn
Axiom I
P(A) [mm] \ge [/mm] 0

Axiom II

P(Omega)=1


Axiom III heißt:

P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) für A  [mm] \cap [/mm] B = {}

und könntet ihr mir vielleicht auch noch sagen wieso Axiom I richtig ist?

Danke :)

        
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Axiome: falsche Aufgabenstellung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Mi 20.10.2004
Autor: Stefan

Hallo Meninto!

Du hast auf jeden Fall was falsch verstanden, denn die Abbildung

$P(A)=1$   für alle $A [mm] \in {\cal P}(\Omega)$ [/mm]

erfüllt offenbar die ersten beiden Axiome, aber nicht das letzte.

Wie also lautet die korrekte Aufgabenstellung?

Viele Grüße
Stefan

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Axiome: Korrektur der Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Do 21.10.2004
Autor: Meninto

Hallo

Also der Mathelehrer hatte sich vertran tut mir leid!
Wir sollen etwas anderes beweisen..
Die Aufgabe ist den Satz von Sylvester zu beweisen
er heißt:
P(A  [mm] \cup [/mm] B ) = P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)

Nochmal Entschuldigung und danke für die Hilfe.

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Axiome: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Do 21.10.2004
Autor: Stefan

Hallo meninto!

Dann gebe ich dir mal ein paar Tipps. ;-)

Es gilt:

1) $A [mm] \cup [/mm] B = A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B))$    und    $A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)) = [mm] \emptyset$, [/mm]

2) $B = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B))$    und    [mm] $(A\cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)) = [mm] \emptyset$. [/mm]

Wir kannst du nun mit 1) und 2) sowie zweimaligen Anwendens des dritten Axioms die Behauptung zeigen? Versuchst du es bitte mal und postest uns deinen Lösungsvorschlag? Danke! :-)

Liebe Grüße
Stefan

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Axiome: Ruckfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Do 21.10.2004
Autor: Meninto

Hallo

ich habe jetzt eine ganz dumme frage, die man eigentlich im LK wissen sollte, aber was heißt denn bitte das  [mm] \emptyset [/mm] zeichen? steht es für {} ?

danke

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Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Do 21.10.2004
Autor: Bastiane

Hallo meninto!
Ja, du hast ganz recht, das [mm] \emptyset [/mm] steht für {}, also für die leere Menge.
Solltest du es hier mit den Eingabehilfen für die Formeln geschrieben haben, könnte dir aufgefallen sein, dass man es mit "emptyset" eingibt, was ja wohl was mit "leer" zu tun hat.
Aber ist ja nicht schlimm - man kann ja nicht alles wissen, und gerade bei Zeichen, die bestimmte Bedeutung haben, gibt es in der Mathematik oft mehrere, die aber vollkomen äquivalent benutzt werden. :-)
MfG

Bezug
                                                
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Axiome: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Do 21.10.2004
Autor: Meninto

Hallo also ich hab es jetzt mal versuchen aber mein ergebnis ist
A(A [mm] \cup [/mm] (B \  A [mm] \cap [/mm] B )) = A(a  [mm] \cup(B [/mm] \ A  [mm] \cap [/mm] B ))
das heißt doch jetzt dass es stimmt?
zu meiner rechnung:
Das gilt es zu beweisen
III)  A ( A  [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P( A  [mm] \cup [/mm] B)
mit
I)  A  [mm] \cup [/mm] B = A  [mm] \cup [/mm] (B\ (A [mm] \cap [/mm] B))
und
II)  B = (A  [mm] \cap [/mm] B)  [mm] \cup [/mm] ( B \ (A  [mm] \cap [/mm] B ))

wenn ich 2 mal die 3te benutz und 1 mal die anderen beiden sieht das bei mir so aus
A(A [mm] \cup [/mm] (B \  A [mm] \cap [/mm] B ))=P(A)+P(B) + A(A  [mm] \cup [/mm] B) - P(A)-P(B)
hier fällt das P(A) und P(B) weg, dann bleibt mir:
A(A [mm] \cup [/mm] (B \  A [mm] \cap [/mm] B ))=A(A  [mm] \cup [/mm] B)
das A(A  [mm] \cup [/mm] B) entsprich  dann wieder A(A [mm] \cup [/mm] (B \  A [mm] \cap [/mm] B ))
so bleibt mir dann am ende
A(A [mm] \cup [/mm] (B \  A [mm] \cap [/mm] B ))=A(A [mm] \cup [/mm] (B \  A [mm] \cap [/mm] B ))

danke für die viele hilfe!

ps: ich schreibe mit dem formel editor nicht, da die seite ja oft lange ladezeiten hat, und da möchte ich die server- und  traffic-belastung nicht noch mehr in die höhe treiben..

Bezug
                                                        
Bezug
Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Fr 22.10.2004
Autor: Brigitte

Hallo!

>  A(A [mm]\cup[/mm] (B \  A [mm]\cap[/mm] B )) = A(a  [mm]\cup(B[/mm] \ A  [mm]\cap[/mm] B ))

Du meinst wohl ein paar Mal $P()$ statt $A()$ und $a$ statt $A$. Hast Du über Deine Lösung drübergeschaut, bevor Du sie weggeschickt hast? So ist es wirklich schwierig zu verstehen, was Du meinst.
Pass bitte auch mit der Klammerung auf. Ich bin ziemlich sicher, dass [mm] $A\cap [/mm] B$ in Klammern stehen sollte.

Wenn ich es richtig interpretiert habe, steht links und rechts ein identischer Ausdruck. Dann ist das Gleichheitszeichen natürlich korrekt. Aber was hast Du damit gezeigt?

>  das heißt doch jetzt dass es stimmt?
>  zu meiner rechnung:
>  Das gilt es zu beweisen
> III)  A ( A  [mm]\cup[/mm] B) = P(A) + P(B) - P( A  [mm]\cup[/mm] B)

[notok] Zu zeigen ist:

$P ( A  [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P( A  [mm] \cap [/mm] B)$

> mit
>  I)  A  [mm]\cup[/mm] B = A  [mm]\cup[/mm] (B\ (A [mm]\cap[/mm] B))

[ok]

>  und
> II)  B = (A  [mm]\cap[/mm] B)  [mm]\cup[/mm] ( B \ (A  [mm]\cap[/mm] B ))

[ok]

> wenn ich 2 mal die 3te benutz und 1 mal die anderen beiden
> sieht das bei mir so aus
>  A(A [mm]\cup[/mm] (B \  A [mm]\cap[/mm] B ))=P(A)+P(B) + A(A  [mm]\cup[/mm] B) -
> P(A)-P(B)

[notok] Wie kommst Du darauf?

Hier kommt man lediglich auf:

$ P(A [mm]\cup[/mm] (B \  A [mm]\cap[/mm] B )) = P(A) + P(B \  (A [mm] \cap [/mm] B ))$.

>  hier fällt das P(A) und P(B) weg, dann bleibt mir:
>  A(A [mm]\cup[/mm] (B \  A [mm]\cap[/mm] B ))=A(A  [mm]\cup[/mm] B)
>  das A(A  [mm]\cup[/mm] B) entsprich  dann wieder A(A [mm]\cup[/mm] (B \  A
> [mm]\cap[/mm] B ))
>  so bleibt mir dann am ende
>  A(A [mm]\cup[/mm] (B \  A [mm]\cap[/mm] B ))=A(A [mm]\cup[/mm] (B \  A [mm]\cap[/mm] B ))

Nein, hier drehst Du Dich im Kreis.

Mach bitte mit obiger Formel von mir weiter, indem Du überlegst, wie man $P(B \  (A [mm] \cap [/mm] B ))$
weiter umformen kann. Beachte dabei, dass $B= (B \  (A [mm] \cap [/mm] B )) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B ) $ und
die Mengen $B \  (A [mm] \cap [/mm] B )$ und $A [mm] \cap [/mm] B$ disjunkt sind.

Probier es noch mal...

> ps: ich schreibe mit dem formel editor nicht, da die seite
> ja oft lange ladezeiten hat, und da möchte ich die server-
> und  traffic-belastung nicht noch mehr in die höhe
> treiben..

Bitte schreibe in Zukunft mit dem Formeleditor. Die Ladezeiten sind es wert. So ist es einfach sehr schwer zu lesen. Der Matheraum wünscht, dass der Formeleditor benutzt wird!

Viele Grüße
Brigitte

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