Berechnung eines Integrals < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Do 27.12.2007 | | Autor: | massimo |
Folgendes wird auf einer Seite (Wiki) behauptet:
[mm] \bruch{1}{\wurzel[]{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-ikx - x²/2 + 2xt - t²)dx} [/mm] = exp(-k²/2 - 2kit + t²)
(i ist die imag. Größe, alles andere ist reell).
Wie sieht die genaue Herleitung aus? (Mir ist klar, dass
man versuchen muss auf die Gaussdichte exp(-(x - ia)²/2) zu
kommen, dann kürzt sich nämlich der Vorfaktor raus, aber
das wars dann auch schon ...). Wär cool, wenn jemand
Rat wüsste.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Do 27.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Folgendes wird auf einer Seite (Wiki) behauptet:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[]{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-ikx - x²/2 + 2xt - t²)dx}[/mm]
> = exp(-k²/2 - 2kit + t²)
>
> (i ist die imag. Größe, alles andere ist reell).
>
> Wie sieht die genaue Herleitung aus?
Einfache quadratische Ergänzung:
[mm] -ikx - x^2/2 + 2xt - t^2 = -\bruch{1}{2}(x^2 + 2x (ik-2t) +2t^2) [/mm]
[mm] = -\bruch{1}{2}(x^2 + 2x (ik-2t) + (ik-2t)^2 - (ik-2t)^2 +2t^2 )[/mm]
[mm] = -\bruch{1}{2}(x+ik-2t)^2 - \bruch{k^2}{2} -2ikt +t^2 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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