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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bestimmt von Extrempunkten
Bestimmt von Extrempunkten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bestimmt von Extrempunkten: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Fr 12.02.2016
Autor: Canibus

Aufgabe
Stationäre Punkte

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen im Inneren ihres natürlichen Definitionsbereiches auf Extremwerte und Sattelpunkte:

d) z = [mm] 3x^{2}y [/mm] + [mm] 4y^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] - [mm] 12y^{2} [/mm] + 1

[mm] z_{x} [/mm] = 6xy - 6x
[mm] z_{y} [/mm] = [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 12y^{2} [/mm] - 24y
[mm] z_{xx} [/mm] = 6y-6
[mm] z_{xy} [/mm] = 6y
[mm] z_{yx} [/mm] = 6x
[mm] z_{yy} [/mm] = 24y - 24

z'' = [mm] \pmat{ 6y-6 & 6y \\ 6x & 24y-24 } [/mm]

Notw. Bedingung:

[mm] z_{x} [/mm] = 0
6xy - 6x = 0
x(6y-6) = 0
x = 0 v 6y-6 = 0
x = 0 v y = 1

Für x = 0:

[mm] z_{y} [/mm] = 0
[mm] 12y^{2} [/mm] - 24y = 0
y(12y-24) = 0
y = 0 v 12y - 24 = 0
y = 0 v y = 2

Für y = 1

[mm] z_{y} [/mm] = 0
[mm] 3x^{2} [/mm] - 12 = 0
[mm] x^{2} [/mm] - 4 = 0
[mm] x^{2} [/mm] = 4
x = 2 v x = -2

f''(0,0) = [mm] \pmat{ -6 & 0 \\ 0 & -24 } [/mm]
f''(0,2) = [mm] \pmat{ 6 & 12 \\ 0 & 24 } [/mm]
f''(2,1) = [mm] \pmat{ 0 & 6 \\ 12 & 0 } [/mm]
f''(-2,1) = [mm] \pmat{ 0 & 6 \\ -12 & 0 } [/mm]

Ich stehe jetzt gerade vor dem Problem, die Definitheit der Matrizen zu bestimmten.
Die letzten drei Matrizen sind nicht symmetrisch. Wie bestimme ich hier die Definitheit, um daraus Schlussfolgerungen auf die Art des stationären Punktes schließen zu können?

Ich danke euch im Voraus schon einmal für eure Hilfe!

Mit freundlichen Grüßen,
Canibus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bestimmt von Extrempunkten: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:40 Fr 12.02.2016
Autor: Canibus

Eine Matrix ist A ist genau dann positiv definit, wenn die symmetrische Matrix A + [mm] A^{T} [/mm] positiv definit ist.

Damit lässt sich das Problem der Definitheit unsymmetrischer Matrizen lösen!

Bezug
                
Bezug
Bestimmt von Extrempunkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Fr 12.02.2016
Autor: Jule2

Über die Eigenwerte gehts auch!!

Bezug
        
Bezug
Bestimmt von Extrempunkten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Fr 12.02.2016
Autor: fred97


> Stationäre Punkte
>  
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen im Inneren ihres
> natürlichen Definitionsbereiches auf Extremwerte und
> Sattelpunkte:
>  
> d) z = [mm]3x^{2}y[/mm] + [mm]4y^{3}[/mm] - [mm]3x^{2}[/mm] - [mm]12y^{2}[/mm] + 1
>  [mm]z_{x}[/mm] = 6xy - 6x
>  [mm]z_{y}[/mm] = [mm]3x^{2}[/mm] + [mm]12y^{2}[/mm] - 24y
>  [mm]z_{xx}[/mm] = 6y-6
>  [mm]z_{xy}[/mm] = 6y
>  [mm]z_{yx}[/mm] = 6x
>  [mm]z_{yy}[/mm] = 24y - 24
>  
> z'' = [mm]\pmat{ 6y-6 & 6y \\ 6x & 24y-24 }[/mm]
>  
> Notw. Bedingung:
>  
> [mm]z_{x}[/mm] = 0
>  6xy - 6x = 0
>  x(6y-6) = 0
>  x = 0 v 6y-6 = 0
>  x = 0 v y = 1
>  
> Für x = 0:
>  
> [mm]z_{y}[/mm] = 0
>  [mm]12y^{2}[/mm] - 24y = 0
>  y(12y-24) = 0
>  y = 0 v 12y - 24 = 0
>  y = 0 v y = 2
>  
> Für y = 1
>  
> [mm]z_{y}[/mm] = 0
>  [mm]3x^{2}[/mm] - 12 = 0
>  [mm]x^{2}[/mm] - 4 = 0
>  [mm]x^{2}[/mm] = 4
>  x = 2 v x = -2
>  
> f''(0,0) = [mm]\pmat{ -6 & 0 \\ 0 & -24 }[/mm]
>  f''(0,2) = [mm]\pmat{ 6 & 12 \\ 0 & 24 }[/mm]
>  
> f''(2,1) = [mm]\pmat{ 0 & 6 \\ 12 & 0 }[/mm]
>  f''(-2,1) = [mm]\pmat{ 0 & 6 \\ -12 & 0 }[/mm]
>  
> Ich stehe jetzt gerade vor dem Problem, die Definitheit der
> Matrizen zu bestimmten.
> Die letzten drei Matrizen sind nicht symmetrisch.




Dann hast Du Dich irgendwo verrechnet. Die Funktion z ist 2 mal stetig differenzierbar,  somit ist die Hessematrix in jedem Punkt symmetrisch

Fred






Wie

> bestimme ich hier die Definitheit, um daraus
> Schlussfolgerungen auf die Art des stationären Punktes
> schließen zu können?
>  
> Ich danke euch im Voraus schon einmal für eure Hilfe!
>  
> Mit freundlichen Grüßen,
>  Canibus
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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