Betrag in Lösung weglassen? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:13 So 23.01.2011 | | Autor: | CC2 |
Hallo zusammen.
Als Beispiel folgende DGL:
[mm] $\bruch{dx}{dt} [/mm] = -x$
Jetzt trenne ich die Variablen:
[mm] $-\bruch{1}{x}dx [/mm] = dt$
und integriere mit Anfangsbedingung [mm] $x(0)=x_{0}$:
[/mm]
$ ln [mm] \left| x_{0} \right| [/mm] - ln [mm] \left| x \right|= [/mm] t$
Wenn ich jetzt nach x auflöse erhalte ich folgendes:
$ [mm] e^{ln \left| x \right|} [/mm] = [mm] e^{ln \left| x_{0} \right|-t}$
[/mm]
Was das gleiche ist, wie:
[mm] $\left| x(t) \right| [/mm] = [mm] e^{-t}\left| x_{0} \right|$.
[/mm]
Warum kann/muss/darf ich die Betragsstriche jetzt weglassen? Also quasi:
$ x(t)= [mm] e^{-t} x_{0}$
[/mm]
schreiben?
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> Hallo zusammen.
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> Als Beispiel folgende DGL:
> [mm]\bruch{dx}{dt} = -x[/mm]
>
> Jetzt trenne ich die Variablen:
> [mm]-\bruch{1}{x}dx = dt[/mm]
>
> und integriere mit Anfangsbedingung [mm]x(0)=x_{0}[/mm]:
> [mm]ln \left| x_{0} \right| - ln \left| x \right|= t[/mm]
>
die anfangsbedingung setzt man erst am ende ein.
also hier weiter:
-ln|x|=t+c
ln|x|=-t+c
[mm] e^{ln|x|}=e^{-t+c}
[/mm]
[mm] |x|=e^{-t}*e^c
[/mm]
[mm] x=\pm e^{-t}*e^c=e^{-t}*c
[/mm]
und jetzt [mm] x(0)=x_0 [/mm] einsetzen
> Wenn ich jetzt nach x auflöse erhalte ich folgendes:
> [mm]e^{ln \left| x \right|} = e^{ln \left| x_{0} \right|-t}[/mm]
>
> Was das gleiche ist, wie:
> [mm]\left| x(t) \right| = e^{-t}\left| x_{0} \right|[/mm].
>
>
> Warum kann/muss/darf ich die Betragsstriche jetzt
> weglassen? Also quasi:
> [mm]x(t)= e^{-t} x_{0}[/mm]
> schreiben?
gruß tee
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:15 So 23.01.2011 | | Autor: | CC2 |
> > Hallo zusammen.
> >
> > Als Beispiel folgende DGL:
> > [mm]\bruch{dx}{dt} = -x[/mm]
> >
> > Jetzt trenne ich die Variablen:
> > [mm]-\bruch{1}{x}dx = dt[/mm]
> >
> > und integriere mit Anfangsbedingung [mm]x(0)=x_{0}[/mm]:
> > [mm]ln \left| x_{0} \right| - ln \left| x \right|= t[/mm]
> >
> die anfangsbedingung setzt man erst am ende ein.
> also hier weiter:
> -ln|x|=t+c
> ln|x|=-t+c
> [mm]e^{ln|x|}=e^{-t+c}[/mm]
> [mm]|x|=e^{-t}*e^c[/mm]
> [mm]x=\pm e^{-t}*e^c=e^{-t}*c[/mm]
> und jetzt [mm]x(0)=x_0[/mm] einsetzen
Hmm, das verstehe ich nicht. Hier wäre doch [mm]x(0)=x_0=\pm e^c[/mm] ? Das wären ja quasi zwei Werte für $ [mm] x_0 [/mm] $ , oder?
Man müsste doch einfach von der unteren zur oberen Grenze integrieren können, so wie ich das gemacht habe? Da müsste doch auch der Betrag rausfallen?
>
> > Wenn ich jetzt nach x auflöse erhalte ich folgendes:
> > [mm]e^{ln \left| x \right|} = e^{ln \left| x_{0} \right|-t}[/mm]
>
> >
> > Was das gleiche ist, wie:
> > [mm]\left| x(t) \right| = e^{-t}\left| x_{0} \right|[/mm].
> >
> >
> > Warum kann/muss/darf ich die Betragsstriche jetzt
> > weglassen? Also quasi:
> > [mm]x(t)= e^{-t} x_{0}[/mm]
> > schreiben?
>
> gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 25.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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