matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenBeweis DGL
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Beweis DGL
Beweis DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis DGL: Beweis, Schritt erklären
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 So 09.10.2016
Autor: Lohrre

Aufgabe
Sei f: J x [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig und beschränkt mit [mm] J:=[\xi [/mm] , [mm] \xi [/mm] + [mm] \alpha] [/mm] Dann existiert eine Lösung der Anfangswertaufgabe y'=f(x,y) [mm] ,y(\xi)=\eta. [/mm]



Hallo

Beim Beweis des Satzes habe ich Verständnisprobleme.
Man versucht zu einer Lösung y(x)= [mm] \eta [/mm] + [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t) dt} [/mm] zu kommen, weil ja der Fixpunkt eine Lösung der Anfangswertaufgabe ist.

Dazu konstuiert man sich eine Näherungslösung: [mm] \alpha [/mm] >0 und

[mm] z_{\alpha}(x) =\begin{cases} \eta, & \mbox{für } x \mbox{kleiner gleich xi} \\ \eta +\integral_{\xi}^{x}{f(t,z_{\alpha}(t- \alpha) dx}, & \mbox{für } x \mbox{ in J} \end{cases} [/mm]


Die Fkt. [mm] z_\alpha [/mm] ist wohldefiniert, denn für [mm] \xi \le [/mm] x [mm] \le \xi [/mm] + [mm] \alpha [/mm] ist [mm] z_{\alpha} [/mm] (x-  [mm] \alpha) [/mm] = [mm] \eta, [/mm] also [mm] z_\alpha [/mm] (x) = [mm] \eta [/mm] + [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t, \eta) dx} [/mm] (*)

Für [mm] \xi [/mm] + [mm] \alpha \le [/mm] x [mm] \le \xi [/mm] + 2 [mm] \alpha [/mm] ist [mm] z_{\alpha} [/mm] (x-  [mm] \alpha) [/mm] gemäß (*) zu berechnen, usw..

Dann zeigt man, dass [mm] z_\alpha [/mm] stetig, sogar stetig differenzierbar ist (das lass ich jetzt aus)

Dann zeigt man, dass die Menge M= [mm] \{z_\alpha |J : \alpha >0 \} [/mm] gleichgradig stetig ist (das lass ich auch aus)

Dann komme ich zum Punkt, wo ich nicht mehr ganz mitkomme & meine eigentliche Frage ist:

Die [mm] Folge{z_{\bruch{1}{n} |J (x)}} [/mm] besitzt eine glm konvergente Teilfolge [mm] {z_\alpha_n} [/mm] mit [mm] \alpha_n \to [/mm] 0. (Beruht auf Arzela Asculi Satz)

Dei Grenzfunktion ist stetig, wegen [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x-  [mm] \alpha_n) [/mm] - y(x)| [mm] \le |z_{\alpha_n} [/mm] (x-  [mm] \alpha_n) [/mm] - [mm] z_\alpha_n [/mm] (x| + [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x) - y(x)| = | [mm] \eta +\integral_{\xi}^{x+ \alpha_n}{f(t,z_{\alpha_n}(t- \alpha_n) dt}| [/mm]  + [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x) - y(x)| [mm] \le C_\alpha_n [/mm]   + [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x) - y(x)|
Also konvergiert auch [mm] z_\alpha [/mm] (x- [mm] \alpha_n) [/mm] gleichmäßig gegen y.

Hier kommen meine Fragen: Bei der letzten Ungleichung fügt man im ersten Schritt [mm] z_alpha_n [/mm] (x) hinzu und weg und nutzt dann die Dreiecksungleichung.
Der letzte Schritt  .... [mm] \le \le C_\alpha_n [/mm]   + [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x) - y(x)| kommt dadurch, weil wir vorhin gleichgrade stetigkeit gezeigt haben, weil f ja beschränkt ist.
Aber warum " Also konvergiert auch [mm] z_\alpha [/mm] (x- [mm] \alpha_n) [/mm] gleichmäßig gegen y" was ist in dem Fall überhaupt y?
Und warum zeigt, dass das [mm] z_\alpha [/mm] (x- [mm] \alpha_n) [/mm] glm. gegen y konvergiert?

Vielen Dank für alle, die sich die Zeit nehmen,

lg





        
Bezug
Beweis DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 Mo 10.10.2016
Autor: fred97

Eine Vorbemerkung: Du hast den obigen Beweis des Satzes von Peano fehlerhaft und lückenhaft aufgeschrieben. Wenn ich den Beweis dieses Satzes nicht sehr gut kennen würde , hätte ich keine Lust gehabt, Dir zu helfen !



1. In obigem Beweis fehlt etwas. Nämlich: wegen $|f| [mm] \le [/mm] C$ auf $J [mm] \times \IR$ [/mm] und der Def. von [mm] z_{\alpha} [/mm] ist $ | [mm] z_{\alpha}'| \le [/mm] C$ und damit hat man mit dem Mittelwertsatz

  $ | [mm] z_{\alpha}(u)- z_{\alpha}(v)| \le [/mm] C|u-v|.$

2. y ist der gleichmäßige Limes der Folge  [mm] (z_{\alpha_n}) [/mm]

3. Aus der Ungleichung

$ [mm] |z_{\alpha_n}(x [/mm] - [mm] \alpha_n)-y(x)| \le C*\alpha_n+|z_{\alpha_n}(x)-y(x)|$ [/mm]

und aus [mm] \alpha_n \to [/mm] 0 und der glm. Konvergenz von [mm] (z_{\alpha_n}) [/mm]  gegen y folgt die glm. Konvergenz von [mm] $(z_{\alpha_n}(x [/mm] - [mm] \alpha_n)) [/mm] $ gegen y.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]