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Beweis De Morgan'schen Regeln: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:57 Sa 11/04/2015
Author: tdodo

Aufgabe 1
Sei M eine Menge und I eine abzählbare nichtleere Menge. Für jedes i ∈ I sei [mm] M_{i} [/mm] ebenfalls eine Menge. Zeigen Sie:

[mm] M\quad \setminus \quad \left( \bigcap _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right) =\bigcup_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) } [/mm]


Aufgabe 2
[mm] M\quad \setminus \quad \left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right) =\bigcap_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) } [/mm]


Das Problem hierbei ist für mich nicht das grundsätzliche Verständnis der De Morganschen Regeln. Einen Beweis dieser Gleichung könnte ich durchführen:

[mm] M\quad \setminus \quad (A\cup B)\quad =\quad (M\setminus A)\quad \cap \quad (M\setminus [/mm] B)

Es geht mir vor allen Dingen um das Verständnis der folgenden Schreibweisen

[mm] \bigcap_{ i\epsilon I } M_{i} [/mm]

und

[mm] \bigcup_{ i\epsilon I } [/mm] (M \ [mm] M_{ i }) [/mm]

Wie kann ich diese Schreibweisen verstehen, umformen bzw. lesen?

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[]www.gute-mathe-fragen.de



        
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:23 Sa 11/04/2015
Author: tobit09

Hallo tdodo und herzlich [willkommenmr]!


> Sei M eine Menge und I eine abzählbare nichtleere Menge.
> Für jedes i ∈ I sei [mm]M_{i}[/mm] ebenfalls eine Menge. Zeigen
> Sie:
>
> [mm]M\quad \setminus \quad \left( \bigcap _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right) =\bigcup_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) }[/mm]
>  
> [mm]M\quad \setminus \quad \left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right) =\bigcap_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) }[/mm]
>  
> Das Problem hierbei ist für mich nicht das grundsätzliche
> Verständnis der De Morganschen Regeln. Einen Beweis dieser
> Gleichung könnte ich durchführen:
>  
> [mm]M\quad \setminus \quad (A\cup B)\quad =\quad (M\setminus A)\quad \cap \quad (M\setminus[/mm]
> B)
>  
> Es geht mir vor allen Dingen um das Verständnis der
> folgenden Schreibweisen
>  
> [mm]\bigcap_{ i\epsilon I } M_{i}[/mm]
>  
> und
>
> [mm]\bigcup_{ i\epsilon I }[/mm] (M \ [mm]M_{ i })[/mm]
>
> Wie kann ich diese Schreibweisen verstehen, umformen bzw.
> lesen?

Die Schreibweisen sind definiert durch

     [mm] $\bigcap_{ i\epsilon I } M_{i}:=\{x\;|\;\forall i\in I\colon x\in M_i\}$ [/mm]

und

      [mm] $\bigcup_{i\in I}M_i:=\{x\;|\;\exists i\in I\colon x\in M_i\}$. [/mm]


Die Elemente von [mm] $\bigcap_{ i\epsilon I } M_{i}$ [/mm] sind also diejenigen Objekte, die in sämtlichen [mm] $M_i$ [/mm] als Element enthalten sind.

Die Elemente von [mm] $\bigcup_{ i\epsilon I } M_{i}$ [/mm] sind diejenigen Objekte, die in mindestens einer der Mengen [mm] $M_i$ [/mm] als Element enthalten sind.


Der von dir genannte Fall des Durchschnitts und der Vereinigung ZWEIER Mengen, lässt sich als Spezialfall der allgemeinen Schreibweise auffassen:

Für Mengen [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] gilt

      [mm] $M_1\cap M_2=\bigcap_{i\in\{1,2\}}M_i$ [/mm]      und       [mm] $M_1\cup M_2=\bigcup_{i\in\{1,2\}}M_i$. [/mm]


Bei den Aufgaben hast du es mit der Verneinung von "Quantoren-Aussagen" zu tun, nicht (wie im Falle ZWEIER Mengen) mit der Verneinung von "und-Aussagen" bzw. "oder-Aussagen" (für die du die DeMorganschen Regeln anwenden könntest).


Wenn du weitere Hilfe benötigst, stelle gerne im gleichen Thread eine Nachfrage!


Viele Grüße
Tobias

  


Bezug
                
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:12 Sa 11/04/2015
Author: tdodo

Hey Tobias,

vielen Dank für deine prompte Antwort! Das hat mich schon etwas weiter gebracht!

Ich habe jetzt mal so weiter gemacht:

[mm] M\quad \setminus \quad \left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right) [/mm]

= [mm] x\epsilon M\quad \wedge \quad \neg\left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right) [/mm]

= [mm] x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \neg \left( \exists i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad x \quad \epsilon \quad M_ { i} \right) [/mm]

= [mm] x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \left( \forall i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad \neg \left( x\quad \epsilon \quad M_{ { i } } \right) \right) [/mm]


Bin ich auf dem richtigen Weg? Wie kann ich nun umformen um zu

[mm] =\bigcap_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) } [/mm]

zu gelangen?

Bezug
                        
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:58 Sa 11/04/2015
Author: tobit09


> Ich habe jetzt mal so weiter gemacht:
>  
> [mm]M\quad \setminus \quad \left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right)[/mm]
>  
> = [mm]x\epsilon M\quad \wedge \quad \neg\left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right)[/mm]
>  
> = [mm]x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \neg \left( \exists i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad x \quad \epsilon \quad M_ { i} \right)[/mm]
>
> = [mm]x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \left( \forall i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad \neg \left( x\quad \epsilon \quad M_{ { i } } \right) \right)[/mm]
>  
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg?

Du meinst vermutlich eigentlich:

[mm]M\quad \setminus \quad \left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right)[/mm]
= [mm]\{x\;|\;x\epsilon M\quad \wedge \quad \neg x\in\left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right)\}[/mm]
= [mm]\{x\;|\;x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \neg \left( \exists i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad x \quad \epsilon \quad M_ { i} \right)\}[/mm]
= [mm]\{x\;|\;x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \left( \forall i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad \neg \left( x\quad \epsilon \quad M_{ { i } } \right) \right)\}[/mm]

Das ist völlig richtig und schlüssig!

(Wenn du möchtest, führe ich zusätzlich genau aus, warum deine Version nicht überall sinnvoll war.)


> Wie kann ich nun umformen um
> zu
>
> [mm]=\bigcap_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) }[/mm]
>  
> zu gelangen?

Zunächst einmal gilt

     [mm] $\bigcap_{i\in I}(M\setminus M_i)=\{x\;|\;\forall i\in I\colon x\in M\setminus M_i\}=\{x\;|\;\forall i\in I\colon (x\in M\wedge x\notin M_i)\}$. [/mm]


Wir müssen also nun "nur" noch

      [mm] $\underbrace{\{x\;|\;x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \left( \forall i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad \neg \left( x\quad \epsilon \quad M_{ { i } } \right) \right)\}}_{=:A}=\underbrace{\{x\;|\;\forall i\in I\colon (x\in M\wedge x\notin M_i)\}}_{=:B}$ [/mm]

zeigen.

Spätestens hier empfiehlt es sich aus meiner Sicht, den Nachweis nicht mehr über eine Gleichungs-Kette zu führen, sondern wie folgt vorzugehen:

Weise nacheinander [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $B\subseteq [/mm] A$ nach.

Dann folgt wie gewünscht $A=B$.

Ich führe dir mal [mm] $B\subseteq [/mm] A$  (d.h. für alle [mm] $x\in [/mm] B$ gilt auch [mm] $x\in [/mm] A$) vor und überlasse dir den Nachweis von [mm] $A\subseteq [/mm] B$.


Sei [mm] $x\in [/mm] B$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $x\in [/mm] A$.
(Da [mm] $x\in [/mm] B$ beliebig vorgegeben war, folgt dann wie gewünscht [mm] $x\in [/mm] A$ für ALLE [mm] $x\in [/mm] B$.)

Um [mm] $x\in [/mm] A$ zu zeigen, müssen wir zwei Dinge zeigen:
1. [mm] $x\in [/mm] M$
2. [mm] $\forall i\in I\colon x\notin M_i$ [/mm]

Wegen [mm] $x\in [/mm] B$ gilt für alle [mm] $i\in [/mm] I$ jeweils [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $x\notin M_i$. [/mm]

Damit ist 2. klar.

Zum Nachweis von 1. benötigen wir, dass $I$ als nichtleer vorausgesetzt ist:
Demzufolge existiert ein [mm] $i_0\in [/mm] I$.
Insbesondere für dieses [mm] $i=i_0$ [/mm] gilt [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $x\notin M_i$. [/mm]
Insbesondere gilt damit wie gewünscht [mm] $x\in [/mm] M$.

Bezug
                                
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:41 Sa 11/04/2015
Author: tdodo

Ich habe zum Beweis von [mm]A\subseteq B[/mm] folgendes aufgeschrieben und mich dabei an deinen Ausführungen orientiert:

Sei [mm]x\in A[/mm] beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm]x\in B[/mm].

Um [mm]x\in B[/mm] zu zeigen, müssen wir zwei Dinge zeigen:
1. [mm]\forall i\in I\colon x\in M[/mm]
2. [mm]\forall i\in I\colon x\notin M_i[/mm]


1.:
Da [mm]x\in A[/mm] gilt [mm]x \in M[/mm]

2.:
Da [mm]x\in A[/mm] gilt für alle [mm]i\in I[/mm] [mm]x\notin M_i[/mm].


Ist das so schlüssig? Wie kann ich derartige Beweise formal korrekt aufschreiben? Oder ist eine solche Schreibweise wie oben schon in Ordnung?


Bezug
                                        
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:03 So 12/04/2015
Author: tobit09


> Ich habe zum Beweis von [mm]A\subseteq B[/mm] folgendes
> aufgeschrieben und mich dabei an deinen Ausführungen
> orientiert:


> Sei [mm]x\in A[/mm] beliebig vorgegeben.
>  Zu zeigen ist [mm]x\in B[/mm].

[ok] Genau.


> Um [mm]x\in B[/mm] zu zeigen, müssen wir zwei Dinge zeigen:
>  1. [mm]\forall i\in I\colon x\in M[/mm]
>  2. [mm]\forall i\in I\colon x\notin M_i[/mm]

Genaugenommen müssen wir eigentlich

(*)      [mm] $\forall i\in I\colon (x\in M\wedge x\notin M_i)$ [/mm]

zeigen.

(Man kann sich aber überlegen, dass das gleichbedeutend mit "1. und 2." ist.)


> 1.:
> Da [mm]x\in A[/mm] gilt [mm]x \in M[/mm]

und damit erst recht [mm] $x\in [/mm] M$ für alle [mm] $i\in [/mm] I$.


> 2.:
>  Da [mm]x\in A[/mm] gilt für alle [mm]i\in I[/mm] [mm]x\notin M_i[/mm].

[ok] Ja.


> Ist das so schlüssig? Wie kann ich derartige Beweise
> formal korrekt aufschreiben? Oder ist eine solche
> Schreibweise wie oben schon in Ordnung?

Knackpunkt ist aus meiner Sicht, dass du 1. und 2. statt (*) beweist.
Wenn der Korrigierende jedoch die Äquivalenz von "1. und 2." mit (*) als klar und nicht Beweis-bedürftig ansieht, wird er mit deiner Lösung wohl einverstanden sein.
Also vermutlich Ermessenssache.

Wichtiger als die Frage, wie der Korrigierende deine Lösung bewertet, finde ich, dass du sie selbst gut verstehst.
(In diesem Fall insbesondere: Ist dir klar, dass "1. und 2." das gleiche aussagen wie (*)?)
Wenn dir irgendetwas nicht schlüssig erscheint, frage gerne nach!
Versuche also, Beweise nicht als sakrosankt ("so muss man das aufschreiben") anzusehen, sondern hinterfrage stets: Ist das überzeugend?


Als Alternative möchte ich dir zeigen, wie ich (*) direkt beweisen würde:

Sei [mm] $i\in [/mm] I$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $x\in M\wedge x\notin M_i$ [/mm] für dieses $i$.
(Da [mm] $i\in [/mm] I$ beliebig vorgegeben war, folgt dann schon [mm] $x\in M\wedge x\notin M_i$ [/mm] für ALLE [mm] $i\in [/mm] I$.)

Wir müssen also zwei Dinge zeigen:
1. [mm] $x\in [/mm] M$
2. [mm] $x\notin M_i$. [/mm]

1. folgt direkt aus [mm] $x\in [/mm] A$.

Zu 2.: Wegen [mm] $x\in [/mm] A$ gilt [mm] $x\notin M_i$ [/mm] sogar für alle [mm] $i\in [/mm] I$, erst recht also gilt [mm] $x\in M_i$ [/mm] für unser vorgegebenes $i$.

Soweit mein Nachweis von (*).


Man kann die gesamte Aufgabe auch völlig ohne Gleichungs-Ketten lösen, indem man gleich nacheinander

     [mm] $M\setminus(\bigcup_{i\in I}M_i)\subseteq\bigcap_{i\in I}(M\setminus M_i)$ [/mm]

und

     [mm] $\bigcap_{i\in I}(M\setminus M_i)\subseteq M\setminus(\bigcup_{i\in I}M_i)$ [/mm]

zeigt.

Etwa Letzteres:

Sei [mm] $x\in\bigcap_{i\in I}(M\setminus M_i)$. [/mm]
Zu zeigen ist [mm] $x\in M\setminus(\bigcup_{i\in I}M_i)$. [/mm]

Wir müssen also zwei Dinge zeigen:
1. [mm] $x\in [/mm] M$
2. [mm] $x\notin\bigcup_{i\in I}M_i$. [/mm]

Zu 1.:

Da $I$ als nichtleer vorausgesetzt ist, existiert ein [mm] $i_0\in [/mm] I$.
Wegen [mm] $x\in\bigcap_{i\in I}(M\setminus M_i)$ [/mm] gilt [mm] $x\in M\setminus M_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$, insbesondere also [mm] $x\in M\setminus M_{i_0}$. [/mm]
Es folgt wie gewünscht 1.

Zu 2.: Hier verwenden wir einen indirekten Beweis (Widerspruchs-Beweis):

Angenommen [mm] $x\in\bigcup_{i\in I}M_i$. [/mm]
Zu zeigen ist ein Widerspruch.

Gemäß der Annahme [mm] $x\in\bigcup_{i\in I}M_i$ [/mm] existiert ein [mm] $i_0\in [/mm] I$ mit [mm] $x\in M_{i_0}$. [/mm]
Wegen [mm] $x\in\bigcap_{i\in I}(M\setminus M_i)$ [/mm] gilt aber insbesondere [mm] $x\in M\setminus M_{i_0}$, [/mm] also insbesondere [mm] $x\notin M_{i_0}$. [/mm]
Die Aussagen [mm] $x\in M_{i_0}$ [/mm] und [mm] $x\notin M_{i_0}$ [/mm] liefern den gewünschten Widerspruch.


Noch ein Kommentar zur Antwort im Gute-Mathe-Fragen-Forum, der zufolge für [mm] $I=\{i_1,i_2,i_3,\ldots\}$ [/mm] per Definitionem gelte

      [mm] $\bigcap_{i\in I}M_i:=M_{i_1}\cap M_{i_2}\cap M_{i_3}\cap\ldots$. [/mm]

Dies ist zwar eine gute Veranschaulichung / Vorstellung, aber keine Definition, da die rechte Seite noch gar nicht definiert ist.

Bezug
                                                
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Beweis De Morgan'schen Regeln: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:25 So 12/04/2015
Author: tdodo

Vielen Dank, ich denke ich habe alles soweit verstanden. Bei der zweiten Aufgabe habe ich folgendermaßen begonnen:

Zum Beweis von
$ [mm] M\quad \setminus \quad \left( \bigcap _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right) =\bigcup_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) } [/mm] $

habe ich folgendermaßen umgeformt:

$ [mm] \underbrace{\{x\;|\;x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \left( \exists i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad x\quad \notin \quad M_{ { i } } \right)\}}_{=:A}=\underbrace{\{x\;|\;\exists i\in I\colon (x\in M\wedge x\notin M_i)\}}_{=:B} [/mm] $

Nun habe ich Probleme beim Nachweis von $ [mm] B\subseteq [/mm] A $ und $ [mm] A\subseteq [/mm] B $ mit dem Umgang mit $ [mm] \exists [/mm] i $. Ein "Für alle i gilt" ist ja gut nachvollziehbar, aber wie gehe ich mit einem "Es gibt midestens ein i" um?

Bezug
                                                        
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:29 So 12/04/2015
Author: tobit09


> Vielen Dank, ich denke ich habe alles soweit verstanden.
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich folgendermaßen begonnen:
>  
> Zum Beweis von
> [mm]M\quad \setminus \quad \left( \bigcap _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right) =\bigcup_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) }[/mm]
>  
> habe ich folgendermaßen umgeformt:
>  
> [mm]\underbrace{\{x\;|\;x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \left( \exists i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad x\quad \notin \quad M_{ { i } } \right)\}}_{=:A}=\underbrace{\{x\;|\;\exists i\in I\colon (x\in M\wedge x\notin M_i)\}}_{=:B}[/mm]

Das sieht gut aus!

Beachte, dass jemand, der unseren Thread nicht kennt, deiner Überlegung so nicht wird folgen können; du musst einem solchen Außenstehenden also genauer erklären, was du meinst:

Du hast dir

      [mm] $M\quad \setminus \quad \left( \bigcap _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } \right)=\underbrace{\{x\;|\;x\quad \epsilon \quad M\quad \wedge \quad \left( \exists i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad x\quad \notin \quad M_{ { i } } \right)\}}_{=:A}$ [/mm]

und

     [mm] $\bigcup_{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) }=\underbrace{\{x\;|\;\exists i\in I\colon (x\in M\wedge x\notin M_i)\}}_{=:B}$ [/mm]

überlegt.

Um die in der Aufgabe zu zeigende Gleichheit zu beweisen, genügt es also, A=B zu zeigen.


> Nun habe ich Probleme beim Nachweis von [mm]B\subseteq A[/mm] und
> [mm]A\subseteq B[/mm] mit dem Umgang mit [mm]\exists i [/mm]. Ein "Für alle
> i gilt" ist ja gut nachvollziehbar, aber wie gehe ich mit
> einem "Es gibt midestens ein i" um?

Ich führe mal den Nachweis von [mm] $A\subseteq [/mm] B$ durch und überlasse dir [mm] $B\subseteq [/mm] A$.

Sei [mm] $x\in [/mm] A$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $x\in [/mm] B$.

Wegen [mm] $x\in [/mm] A$ gilt [mm] $x\in [/mm] M$ und es existiert ein [mm] $i_0\in [/mm] I$ mit [mm] $x\notin M_{i_0}$. [/mm]
Für dieses [mm] $i_0$ [/mm] gilt somit [mm] $x\in M\wedge x\notin M_{i_0}$. [/mm]
Insbesondere gilt [mm] $\exists i\in I\colon (x\in M\wedge x\notin M_i)$ [/mm] (denn [mm] $i_0$ [/mm] ist ein Beispiel für ein solches $i$, dessen Existenz behauptet wird).
Also gilt tatsächlich [mm] $x\in [/mm] B$.


Falls es dich interessiert: MBHier (klick) findest du ein Tutorial von mir, in dem ich ausführlich und an anschaulicheren Beispielen erkläre, wie man Beweise im Zusammenhang mit Quantoren führen kann.

Bezug
                                                                
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:43 So 12/04/2015
Author: tdodo

Hier mein Beweis für $ [mm] B\subseteq [/mm] A $:

Sei $ [mm] x\in [/mm] B $ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist $ [mm] x\in [/mm] A $.

Wegen $ [mm] x\in [/mm] B $ existiert ein $ [mm] i_0\in [/mm] I $ mit $ [mm] x\in [/mm] M $ und $ [mm] x\notin M_i [/mm] $.
Somit gilt $ [mm] \exists i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad x\quad \notin \quad M_{ { i } }$. [/mm]

Hierbei bin ich mir unsicher:
Da $ [mm] i_0 [/mm] $ beliebig gewählt ist gilt auch $ [mm] x\in [/mm] M $.

oder lieber:
Da $ I $ nichtleer ist existiert ein $ [mm] i_0\in [/mm] I $.
Insbesondere für dieses $ [mm] i=i_0 [/mm] $ gilt $ [mm] x\in [/mm] M $.
Insbesondere gilt damit $ [mm] x\in [/mm] M $.

Daher gilt $x [mm] \in [/mm] A $

Bezug
                                                                        
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:11 So 12/04/2015
Author: tobit09


> Hier mein Beweis für [mm]B\subseteq A [/mm]:
>  
> Sei [mm]x\in B[/mm] beliebig vorgegeben.
>  Zu zeigen ist [mm]x\in A [/mm].

[ok]


> Wegen [mm]x\in B[/mm] existiert ein [mm]i_0\in I[/mm] mit [mm]x\in M[/mm] und [mm]x\notin M_i [/mm].

[ok] (Es gibt mindestens ein [mm] $i\in [/mm] I$ mit [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $x\notin M_i$. [/mm] Wir wählen ein solches [mm] $i_0$.) [/mm]

(**) Insbesondere gilt [mm] $x\in [/mm] M$.


> Somit gilt [mm]\exists i\quad \epsilon \quad I\quad :\quad x\quad \notin \quad M_{ { i } }[/mm].

[ok] Genau, nämlich z.B. [mm] $i=i_0$. [/mm]


> Hierbei bin ich mir unsicher:
>  Da [mm]i_0[/mm] beliebig gewählt ist gilt auch [mm]x\in M [/mm].

Wir haben kein beliebiges [mm] $i_0\in [/mm] I$ gewählt, sondern ein solches [mm] $i_0$ [/mm] mit [mm] $x\in M\wedge x\notin M_{i_0}$. [/mm]

> oder lieber:
>  Da [mm]I[/mm] nichtleer ist existiert ein [mm]i_0\in I [/mm].

Das stimmt. Es hilft uns hier aber nicht weiter.

>  Insbesondere
> für dieses [mm]i=i_0[/mm] gilt [mm]x\in M [/mm].

Dafür sehe ich keinen Grund.
Wir wissen ja nicht für ALLE [mm] $i\in [/mm] I$ die Aussage [mm] $x\in M\wedge x\notin M_i$, [/mm] sondern für MINDESTENS EIN [mm] $i\in [/mm] I$.
Wenn du nun irgendein [mm] $i_0\in [/mm] I$ betrachtest, muss nicht unbedingt [mm] $x\in M\wedge x\notin M_{i_0}$ [/mm] gelten.


> Daher gilt [mm]x \in A[/mm]

[ok]


Mit (**) ist die Lücke in deinem Beweis schon geschlossen.

Bezug
                                                                                
Bezug
Beweis De Morgan'schen Regeln: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:36 So 12/04/2015
Author: tdodo

Okay, vielen Dank!
Eine Sache verstehe ich noch nicht:

Warum können wir einfach schreiben:

> (**) Insbesondere gilt [mm]x\in M[/mm].

Aber nicht:

> > Insbesondere für dieses [mm]i=i_0[/mm] gilt [mm]x\in M [/mm].
>  Dafür sehe ich keinen
> Grund.
>  Wir wissen ja nicht für ALLE [mm]i\in I[/mm] die Aussage [mm]x\in M\wedge x\notin M_i[/mm],
> sondern für MINDESTENS EIN [mm]i\in I[/mm].
>  Wenn du nun irgendein
> [mm]i_0\in I[/mm] betrachtest, muss nicht unbedingt [mm]x\in M\wedge x\notin M_{i_0}[/mm]
> gelten.


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Beweis De Morgan'schen Regeln: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:57 So 12/04/2015
Author: tobit09


>  Eine Sache verstehe ich noch nicht:

Gut, dass du nachfragst!

  

> Warum können wir einfach schreiben:
>  > (**) Insbesondere gilt [mm]x\in M[/mm].

>  
> Aber nicht:
>  > > Insbesondere für dieses [mm]i=i_0[/mm] gilt [mm]x\in M [/mm].

>  >  
> Dafür sehe ich keinen
> > Grund.
>  >  Wir wissen ja nicht für ALLE [mm]i\in I[/mm] die Aussage [mm]x\in M\wedge x\notin M_i[/mm],
> > sondern für MINDESTENS EIN [mm]i\in I[/mm].
>  >  Wenn du nun
> irgendein
> > [mm]i_0\in I[/mm] betrachtest, muss nicht unbedingt [mm]x\in M\wedge x\notin M_{i_0}[/mm]
> > gelten.

Das entscheidende ist jeweils die Zeile vor diesen Schlussfolgerungen:


(**) habe ich aus Folgendem gefolgert:

> Wegen $ [mm] x\in [/mm] B $ existiert ein $ [mm] i_0\in [/mm] I $ mit $ [mm] x\in [/mm] M $ und $ [mm] x\notin M_i [/mm] $.

(Ich sehe gerade, was ich bisher übersehen hatte: Es müsste hinten [mm] $M_{i_0}$ [/mm] statt [mm] $M_i$ [/mm] heißen.)


Du hattest hingegen ein anderes [mm] $i_0$ [/mm] betrachtet:

>  Da $ I $ nichtleer ist existiert ein $ [mm] i_0\in [/mm] I $.

Dieses [mm] $i_0\in [/mm] I$ war also willkürlich gewählt und musste gar nicht [mm] $x\in M\wedge x\notin M_{i_0}$ [/mm] erfüllen.
Daher sehe ich keinen Grund, aus der Existenz eines beliebigen [mm] $i_0\in [/mm] I$ auf [mm] $x\in [/mm] M$ zu schließen.

Wenn du den Satz

>  Da $ I $ nichtleer ist existiert ein $ [mm] i_0\in [/mm] I $.

hingegen streichst und dich stattdessen auf ein [mm] $i_0\in [/mm] I$ mit [mm] $x\in M\wedge x\notin M_{i_0}$ [/mm] beziehst (was ja existiert), habe ich gegen die Formulierung

> Insbesondere für dieses [mm]i=i_0[/mm] gilt [mm]x\in M [/mm].

nichts einzuwenden.


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Beweis De Morgan'schen Regeln: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:00 So 12/04/2015
Author: tdodo

Verstanden! :-) Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe!!!

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