matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDiskrete OptimierungBeweis, Ecke, Basis lin. unabh
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Diskrete Optimierung" - Beweis, Ecke, Basis lin. unabh
Beweis, Ecke, Basis lin. unabh < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Optimierung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis, Ecke, Basis lin. unabh: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Mo 15.12.2014
Autor: Kosamui

Aufgabe
Ein Punkt [mm] x\in [/mm] P ist eine Ecke von P genau dann, wenn die zu x gehörende Basis von A linear unabhängig ist.
Sei P= {x|Ax=b, x [mm] \ge0} [/mm] und bezeichne [mm] a^{(i)} [/mm] die i-te Spalte von A . Sei x Element aus P und I = {i| [mm] x_{i} [/mm] >0} die Menge aller Indizes mit [mm] x_{i} [/mm] >0. Die Menge [mm] {a^{(i)} |i \in I} [/mm] wird die zu x gehörende Basis von A genannt. Für die zu x gehörende Basis von A gilt: [mm] \summe_{i\in I} x_{i} a^{(i)}=b. [/mm]

Hallo liebe Leute :)

Ich habe den Beweis schon mal gepostet, brauche jetzt aber nochmals eure Hilfe. Ich habe bei der einen Richtung ein Problem beim Beweis:

Sei [mm] {a^{(i)}|i \in I } [/mm] linear unabhängig. Angenommen, es wäre x= [mm] \lambda [/mm] y +(1- [mm] \lambda)z, [/mm] wobei 0< [mm] \lambda [/mm] < 1 und y,z [mm] \in [/mm] P.
Nach Voraussetzung ist x die eindeutige Lösung des lin. Gleichungssystems Ax=b mit [mm] x_{i} [/mm] = 0 für alle i [mm] \not\in [/mm] I. Da y der Gleichung Ay=b genügt, gibt es einen Index i [mm] \not\in [/mm] I mit [mm] y_{i} [/mm] >0. Wg. z [mm] \ge [/mm] 0 ist dann die i-te Komponente von [mm] \lambda [/mm] y +(1- [mm] \lambda)z [/mm] widersprüchlicherweise positiv.

So, das meiste ist klar, nur leider verstehe ich überhaupt nicht, wieso i [mm] \not\in [/mm] I mit [mm] y_{i} [/mm] >0 . Kann mir jemand helfen?

Wäre super !! :)

GLG Kosamui

        
Bezug
Beweis, Ecke, Basis lin. unabh: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:33 Mo 15.12.2014
Autor: Kosamui

Niemand eine Idee? :(

Bezug
                
Bezug
Beweis, Ecke, Basis lin. unabh: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Di 16.12.2014
Autor: abakus

Crossposting:
http://www.onlinemathe.de/forum/Beweis-Ecke-Basis-Polyeder-1

Bezug
        
Bezug
Beweis, Ecke, Basis lin. unabh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Di 16.12.2014
Autor: fred97


> Ein Punkt [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

P ist eine Ecke von P genau dann, wenn die

> zu x gehörende Basis von A linear unabhängig ist.
>  Sei P= {x|Ax=b, x [mm]\ge0}[/mm] und bezeichne [mm]a^{(i)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

die i-te

> Spalte von A . Sei x Element aus P und I = {i| [mm]x_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

>0}

> die Menge aller Indizes mit [mm]x_{i}[/mm] >0. Die Menge [mm]{a^{(i)} |i \in I}[/mm]
> wird die zu x gehörende Basis von A genannt. Für die zu x
> gehörende Basis von A gilt: [mm]\summe_{i\in I} x_{i} a^{(i)}=b.[/mm]
>  
> Hallo liebe Leute :)
>  
> Ich habe den Beweis schon mal gepostet, brauche jetzt aber
> nochmals eure Hilfe. Ich habe bei der einen Richtung ein
> Problem beim Beweis:
>  
> Sei [mm]{a^{(i)}|i \in I }[/mm] linear unabhängig. Angenommen, es
> wäre x= [mm]\lambda[/mm] y +(1- [mm]\lambda)z,[/mm] wobei 0< [mm]\lambda[/mm] < 1 und
> y,z [mm]\in[/mm] P.
>  Nach Voraussetzung ist x die eindeutige Lösung des lin.
> Gleichungssystems Ax=b mit [mm]x_{i}[/mm] = 0 für alle i [mm]\not\in[/mm] I.
> Da y der Gleichung Ay=b genügt, gibt es einen Index i
> [mm]\not\in[/mm] I mit [mm]y_{i}[/mm] >0. Wg. z [mm]\ge[/mm] 0 ist dann die i-te
> Komponente von [mm]\lambda[/mm] y +(1- [mm]\lambda)z[/mm]
> widersprüchlicherweise positiv.
>  
> So, das meiste ist klar, nur leider verstehe ich überhaupt
> nicht, wieso i [mm]\not\in[/mm] I mit [mm]y_{i}[/mm] >0 . Kann mir jemand
> helfen?

Da y [mm] \in [/mm] P sind alle [mm] y_i \ge [/mm] 0. Nimm an, für alle i [mm] \notin [/mm] I wäre [mm] y_i=0 [/mm]

Wegen Ay=b hätten wir dann neben x eine 2. Lösung des LGS Ax=b mit [mm] x_i=0 [/mm] für alle  i [mm] \notin [/mm] I.

Also wäre y=x=z.

FRED

>  
> Wäre super !! :)
>  
> GLG Kosamui


Bezug
                
Bezug
Beweis, Ecke, Basis lin. unabh: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 Sa 20.12.2014
Autor: Kosamui

Danke dir !! :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Optimierung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]