Beweis Limes sup/inf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 12:27 Mi 17.11.2004 | | Autor: | spirit |
Kann mir jemand bei folgende Aufgabe helfen?
Ich habe auch im Internet nichts darüber gefunden und selbst keine funktionierende Idee.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
seien (an), (bn) Folgen in [mm] \IR [/mm] . Beweisen oder widerlegen:
a) lim sup (an + bn) = lim sup an + lim sup bn
b) lim sup (an + bn) [mm] \le [/mm] lim sup an + lim sup bn
c) lim inf(an + bn) [mm] \le [/mm] lim inf an + lim infbn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mi 17.11.2004 | | Autor: | steelscout |
Weiter unten gab's ne ähnliche Frage,
Die Antwort findest du bei uni-protokolle.de im Matheforum unter dem Threadnamen "Supremum".
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Ich hoffe mal, dass das stimmt, was ich rausgekriegt hab:
Zu a) Das stimmt nicht, kannst du einfach ein Gegenbeispiel geben:
an = sin n
bn = cos n
sup an = 1, die obere Schranke der Sinusfunktion
sup bn = 1, genauso, bloß für cosinus
sup an + sup bn = 2
sup (cos n + sin n) = [mm] \wurzel{2}, [/mm] also kleiner als 2.
=> Widerspruch
zu b)
Behauptung: lim sup (an + bn) [mm] \le [/mm] lim sup an + lim sup bn
Im § 9, Seite 88 im Buch Analysis 1 von Forster (das Liebligsbuch von meinem Analysisprofesser Voigt), steht drin:
Def: lim sup an := lim (sup [ak : k [mm] \ge [/mm] n] )
Also ergibt sich aus der Behauptung:
lim ( sup [ ak + bk ] [mm] \le [/mm] lim (sup [ak] ) + lim (sup [bk] ) ; für alle k [mm] \ge [/mm] n
Mit den Grenzwertsätzen ergibt sich dann:
lim (sup [ak + bk] [mm] \le [/mm] lim ( sup [ak] + sup [bk]) ; für alle k [mm] \ge [/mm] n
gilt aber nur dann, wenn gleichzeitig:
sup [ak + bk] [mm] \le [/mm] sup [ak] + sup [bk] ; für alle k [mm] \ge [/mm] n
Weiter bin ich nicht gekommen, aber der letzten Ausdruck ist ein Satz, der schonmal von jemanden bewiesen wurde.
Und jeder schon bewiesene Satz kann zum Beweisen von neuen Sätzen herangezogen werden.
w. z. b. w.
c)
Behauptung: lim inf (an + bn) [mm] \le [/mm] lim inf (an) + lim inf (bn)
analog zu b) ergibt sich:
inf (ak + bk) [mm] \le [/mm] inf ak + inf bk; für alle k [mm] \ge [/mm] n
Aber das geht wieder einfacher:
an = sin n
bn = cos n
inf an = -1
inf bn = -1
inf (an + bn) = - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
- [mm] \wurzel{2} [/mm] ist aber größer als -2, es soll aber kleiner gleich sein.
=> Widerspruch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe fast keine Zeit, aber ein noch einfacheres Gegenbeispiel zu a):
Definiere die Folgen [mm] $(a_n)_{n \in \IN} \in \IR^{\IN}$ [/mm] durch [mm] $a_n:=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN} \in \IR^{\IN}$ [/mm] durch [mm] $b_n:=(-1)^{n+1}$.
[/mm]
Offenbar gilt
[m]a_n+b_n=(-1)^n+(-1)^{n+1}=(-1)^n+(-1)*(-1)^n=(-1)^n-(-1)^n=0$ $\;\;\forall n \in \IN[/m], und damit:
[mm] $\limsup_{n \to \infty} {\;(a_n+b_n)}=0$, [/mm] aber
[mm] $\limsup_{n \to \infty} {\;a_n}=\limsup_{n \to \infty} {\;b_n}=1$, [/mm] und damit:
[m]\limsup_{n \to \infty} {\;a_n}+\limsup_{n \to \infty} {\;b_n}=1+1=2\not=0=\limsup_{n \to \infty} {\;(a_n+b_n)}[/m]
Viele Grüße,
Marcel
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