Bijektivität einer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 So 31.10.2010 | | Autor: | Qirwik |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Für eine endliche Menge X und eine Abbildung f : X → X sind
äquivalent:
(a) f ist injektiv;
(b) f ist surjektiv;
(c) f ist bijektiv. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich stehe bei der Aufgabe leider total auf dem Schlauch. Folgendes habe ich mir überlegt:
f injektiv <=> f surjektiv
"=>": Dadurch dass die Ursprungsmenge und die Zielmenge gleich sind (das folgt doch aus f : X → X, oder?) muss für f injektiv gelten: jedem Element aus der Zielmenge wird genau ein Element aus der Urpsrungsmenge zugewiesen. Damit wäre f auch surjektiv.
"<=": Analog
Ist denn die Überlegung überhaupt korrekt? Wie kann ich für die Aufgabe einen formalen Beweis erstellen? Über Tipps würde ich mich freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 So 31.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
bijektiv [mm]\Rightarrow[/mm] injektiv,surjektiv trivial.
Die beiden Teilbeweise
injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] surjektiv
surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] injektiv
kannst du per Induktion beweisen.
Vielleicht wäre ein Widerspruchsbeweis bei injektiv => surjektiv per Taubenschlagprinzip wesentlich einfacher.
Du wolltest ja "nur" Tipps.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib die Def für Inj und surj hin,
benutze X endlich, da. h. X hat n Elemente x1,...xn
formuliere damit injektiv usw.
Gruss leduart
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