matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikBinomialkoeff. Urnenmodell
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Stochastik" - Binomialkoeff. Urnenmodell
Binomialkoeff. Urnenmodell < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Binomialkoeff. Urnenmodell: Korrektur, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Mo 23.11.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Der Satz formuliert 2 Gleichungen für den Binomialkoeffizienten, die durch Einsetzen und Ausrechnen bewiesen werden, nämlich:

[mm] \vektor{n+1 \\ k}=\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n \\ k} [/mm]

und [mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n \\ n-k} [/mm]
[mm] \forall [/mm] n,k [mm] \in \IN_0 [/mm] ( in dieser Aufgabe nur [mm] \IN_0). [/mm]
Der Binomialkoeffizient hat aber auch eine kombinatorische Bedeutung in Gestalt des dritten Urnenmodells [mm] \Omega_{III}. [/mm] Begründen sie die beiden Gleichungen durch Interpretation im Urnenmodell: Was bedeuten die Gleichungen und wieso sind sie offensichtlich richtig?

Hallo,

da die Aufgabe (für mich) etwas ungewöhnlich ist (Argumentativ anhand von Modell zu beweisen), möchte ich hier nach Meinungen/Korrekturen zu meinem Lösungsansatz fragen.


Allgemein zuerst: Modell [mm] \Omega_{III} [/mm] basiert auf nicht Zurücklegen ohne Reihenfolge, d.h. die in einem Durchgang gezogenen Kugeln aus der Urne werden nicht zurückgelegt, sodass keine doppelten Werte in einer Paarung auftreten können. Im Zusammenhang mit ohne Reihenfolge bedeutet das, dass in diesem Fall nur Mengen betrachtet werden [mm] (\{1,2\}=\{2,1\}). [/mm]
(Binomialkoeffizient=|k-Potenzmenge|)


1. Gleichung:
Es gibt gleichviele Kombinationsmöglichkeiten bei n+1 Kugeln
mit Ziehen von k Kugeln (i) wie bei n Kugeln mit (k-1)xZiehen plus n Kugeln mit (k)x Ziehen (ii).

Nun gilt folgendes: Bei (i) wird die k-Potenzmenge aus n+1 Kugeln gezogen. Das gleiche geschieht bei (ii) mit [mm] \vektor{n \\ k}, [/mm] nur mit dem Unterschied, dass 1 Kugel weniger vorhanden ist, d.h. alle Paare mit der Nummer n+1 fehlen hier. Diese Paare können nur aus den Kombinationen bestehen, welche die Kugel Nr. n+1 enthalten (Im Falle von [mm] k=2:\{n+1,n\},\{n+1,n-1\},...,\{n+1,1\}. [/mm] Dies sind n Mengen, da [mm] \{n+1,n+1\} [/mm] nicht vorhanden sein kann).

Die gleiche Anzahl (was für die Gleichheit notwendig ist; es werden nur die Kombinationsanzahlen verglichen, nicht die Kombinationen an sich auf Gleichheit untersucht) ensteht nun aus [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm]
Zügen, d.h. im Falle von k=2 mit n Kugeln.
(Hier fehlt vermutlich nun nur noch das Argument, warum dies im Allgemeinen Fall mit k gelten sollte. Wie anhand von Urnenmodell erläutern?)

2. Gleichung:
Die Gleichung besagt, dass durch die in der Vorlesung bereits bewiesenen Symmetrieeigenschaft man beim Auswählen von k-Kugeln über n insgesamt die Gleiche Anzahl erhält wie bei der Auswahl mit n-k. Allgemein bedeutet dies anhand vom Urnenmodell, dass die Kombinationsmöglichkeiten abnehmen, je mehr [mm] k\to0 [/mm] oder [mm] k\to [/mm] n geht, d.h. wenn nur 0 Kugel gezogen werden, können nur die 0 Paare ausgewählt werden (entspricht der leeren Menge als Anzahl 1). Bei nx Ziehen nur die n Kugeln alle aufeinmal. Die größte Kombinationsmöglichkeit (wie beim Pascalschen Dreieck) ergibt sich bei ungeradem n bei ceil(n/k) und floor(n/k) und bei geraden n bei
n/k (Indexbeginn bei 0). Ist bspw. k=1,
dann werden auf der linken Seite der Gleichung die Kugeln [mm] \{1\}, \{2\},..., \{n\} [/mm]
gezogen, auf der rechten n-1 Kugeln, d.h. die n-1 Potenzmenge aus n Kugeln.
(Hier immer  n-1 Paarungen mit der 1 enthalten, 1 Paarung ohne die 1, d.h. n-Paarungen gesamt.)

Was genau könnte verbessert werden? Vermutlich fehlt die Verallgemeinerung für alle Fälle, was könnte man hier anführen anhand vom Urnenmodell?
Eine Korrektur/Anregungen im Laufe des Tages wären nett.


        
Bezug
Binomialkoeff. Urnenmodell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mo 23.11.2020
Autor: HJKweseleit

Ich würde viel anschaulicher argumentieren.

Ein Schiff mit n Passagieren geht unter. Es passen nur k Personen ins Rettungsboot. Dann gibt [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] die Anzahl der Möglichkeiten für die Bestückung des Rettungsbootes an.

Genau so gut könnte man aber aus den n Personen diejenigen n-k Personen auswählen, die nicht ins Rettungsboot kommen. Jeder Auswahl der ersten Sichtweise entspricht eine Auswahl der zweiten Sichtweise. Daher ist [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\n-k}. [/mm]

Nun haben wir aber vergessen, dass ja der Kapitän auch noch getettet werden könnte. Deshalb haben wir nun [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] Möglichkeiten für das Rettungsboot. Dazu gehören schon mal alle bisherigen ohne den Kapitän, also [mm] \vektor{n \\ k}, [/mm] und zusätzlich die mit Kapitän. Den setzen wir nun in Gedanken ins Boot, dann haben wir für die k-1 weiteren Plätze noch weitere [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] Möglichkeiten mit Kapitän. Also ist

[mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1}. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeff. Urnenmodell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 Mo 23.11.2020
Autor: TS85

Ok danke für den Hinweis, das bringt es dann wohl sehr einfach auf den Punkt. Ich werde es in meine Lösung miteinbeziehen, eine Antwort auf diese Weise werde ich allerdings in meiner Position als Student lieber nicht machen.

Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeff. Urnenmodell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Mo 23.11.2020
Autor: HJKweseleit

Das sehe ich ganz anders! Je einfacher/anschaulicher die Erklärung, desto verständlicher die Beweisführung. Was ist an Kugeln, die aus einer Urne gezogen werden (wann kommt das wirklich vor?) anders, als an Leuten, die in Rettungsboote springen? Welche Beweisführung werden du und deine Kommilitonen wohl länger im Kopf behalten?

Mach mal den Test: Frag deinen Prof, ob eine solche Beweisführung auch akzeptiert wird.

Hier noch mein Lieblingsbeispiel für die Vereinfachung eines Sachverhalts:

Thema 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. "Auf einem Bauernhof leben Hühner und Schafe. Sie haben zusammen 100 Köpfe und 240 Beine. Wieviele sind es von jeder Sorte?"
Schülerantwort: Wären es nur Hühner, hätten wir 200 Beine. Tauschen wir ein Huhn gegen ein Schaf, werden es 2 Beine mehr. Wir brauchen 40 Beine mehr, tauschen also 20 mal. 20 Schafe, 80 Hühner.
Da war nix mit x und y.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]