matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikBinomialkoeffizient
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Stochastik" - Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Fr 26.01.2018
Autor: rubi

Aufgabe
Beweise:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \vektor{m-n \\ n-k} [/mm] = [mm] \vektor{m \\ n} [/mm]

Hallo zusammen,

kann die obige Formel nur mit vollständiger Induktion nachgewiesen werden ?
Oder gibt es eine andere Methode, dies zu zeigen ?

Vielen Dank für eure Hinweise.

Viele Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Fr 26.01.2018
Autor: HJKweseleit


> Beweise:
>  [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \vektor{m-n \\ n-k}[/mm] =
> [mm]\vektor{m \\ n}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>
> kann die obige Formel nur mit vollständiger Induktion
> nachgewiesen werden ?
> Oder gibt es eine andere Methode, dies zu zeigen ?
>  
> Vielen Dank für eure Hinweise.
>  
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.



Wenn man einen anschaulichen Beweis als solchen zulässt, geht es auch anders (man muss sich ja auch mal fragen, wie man auf eine solche Beziehung kommt, und das ist wahrscheinlich so entstanden).

Dazu brauchst du aber die Tatsache, dass [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] angibt, wie viele Mgl. es gibt, k Elemente aus einer n-Menge zu ziehen.


Lösung:

Wir stellen uns einen Beutel mit m Perlen vor, von denen n golden und m-n blau sind. Daraus dürfen wir nun n ziehen (in der Hoffnung, genau die n goldenen zu erhalten, aber dass ist hier unbedeutend).

Dafür gibt es genau [mm]\vektor{m \\ n}[/mm] Mgl. (rechte Seite der Gleichung).

Jetzt fragen wir uns, wie das Ganze aussieht, wenn wir es nach Anzahl der goldenen Perlen aufdröseln.

Wir können 0 goldene ([mm]\vektor{n \\ 0}[/mm] Mgl.) und n blaue Perlen ([mm]\vektor{m-n \\ n-0}[/mm] Mgl.) ziehen.

Wir können 1 goldene ([mm]\vektor{n \\ 1}[/mm] Mgl.) und n-1 blaue Perlen ([mm]\vektor{m-n \\ n-1}[/mm] Mgl.) ziehen.


Wir können 2 goldene ([mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] Mgl.) und n-2 blaue Perlen ([mm]\vektor{m-n \\ n-2}[/mm] Mgl.) ziehen...


Wir können n goldene ([mm]\vektor{n \\ n}[/mm] Mgl.) und n-n=0 blaue Perlen ([mm]\vektor{m-n \\ n-n}[/mm] Mgl.) ziehen.

Alle diese Mgl. geben die linke Seite der Gleichung, da man jedes Mal das entsprechende Produkt bilden und alle aufsummieren muss.

Hinweis: Falls es weniger blaue als goldene Perlen gibt, wäre m-n < n, und z.B. [mm]\vektor{m-n \\ n-0}[/mm] wäre nicht definiert. Dieser Ausdruck bekommt dann aber den Wert 0 (nach Konvention), und damit fällt dieser Summand aus. Somit funktioniert die Formel auch für diesen Fall.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]