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Bogenlänge einer Asteroide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Do 13.12.2018
Autor: CrowleyAstray

Aufgabe
Berechnen Sie die Bogenlänge der Asteroide [mm] x^{\bruch{2}{3}} [/mm] + [mm] y^{\bruch{2}{3}}= [/mm] 1, −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, sowie die von der Kurve eingeschlossene Fläche. (Hinweis: wählen Sie die Parametrisierung
x(t) = [mm] cos^3(t), [/mm] y(t) = [mm] sin^3(t) [/mm] und zeichnen Sie die Kurve.)

Hallo allerseits!

Ich versuche dieses Problem zu lösen, allerdings bin ich mir nicht sicher wie man sich die Bogenlänge einer Asteroide berechnet. Die Formel die ich für eine normale Kurve anwenden würde, wäre [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel[2]{1+f'(x)^2} dx}, [/mm] allerdings weiß ich nicht wie hier die Grenzen zu wählen sind, da ich noch nie mit einer Asteroiden gearbeitet habe.

Ich habe dieses Problem auf anderen Internetforen gefunden, allerdings hat es dort nie eine verwertbare Antwort gegeben, also hoffe ich dass Ihr mir helfen könnt!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bogenlänge einer Asteroide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Do 13.12.2018
Autor: fred97


> Berechnen Sie die Bogenlänge der Asteroide
> [mm]x^{\bruch{2}{3}}[/mm] + [mm]y^{\bruch{2}{3}}=[/mm] 1, −1 ≤ x ≤ 1,
> −1 ≤ y ≤ 1, sowie die von der Kurve eingeschlossene
> Fläche. (Hinweis: wählen Sie die Parametrisierung
>  x(t) = [mm]cos^3(t),[/mm] y(t) = [mm]sin^3(t)[/mm] und zeichnen Sie die
> Kurve.)
>  Hallo allerseits!
>  
> Ich versuche dieses Problem zu lösen, allerdings bin ich
> mir nicht sicher wie man sich die Bogenlänge einer
> Asteroide berechnet. Die Formel die ich für eine normale
> Kurve anwenden würde, wäre
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel[2]{1+f'(x)^2} dx},[/mm] allerdings
> weiß ich nicht wie hier die Grenzen zu wählen sind, da
> ich noch nie mit einer Asteroiden gearbeitet habe.
>  
> Ich habe dieses Problem auf anderen Internetforen gefunden,
> allerdings hat es dort nie eine verwertbare Antwort
> gegeben, also hoffe ich dass Ihr mir helfen könnt!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Warum verwendst Du nicht den Hinweis ? Die Parametrisierung lautet

$c(t)=( [mm] \cos^3(t), \sin^3(t))$ [/mm] mit $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$. [/mm]

Damit brechnet sich die Bogenlänge nach der Formel

       [mm] $\int_0^{2 \pi}||c'(t)|| [/mm] dt$,

wobei $|| [mm] \cdot [/mm] ||$ die euklidische Norm auf [mm] \IR^2 [/mm] ist.



Bezug
                
Bezug
Bogenlänge einer Asteroide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Do 13.12.2018
Autor: CrowleyAstray

Aufgabe
Warum verwendst Du nicht den Hinweis ? Die Parametrisierung lautet

$ c(t)=( [mm] \cos^3(t), \sin^3(t)) [/mm] $ mit $ t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi] [/mm] $.

Damit brechnet sich die Bogenlänge nach der Formel

       $ [mm] \int_0^{2 \pi}||c'(t)|| [/mm] dt $,

wobei $ || [mm] \cdot [/mm] || $ die euklidische Norm auf $ [mm] \IR^2 [/mm] $ ist.

Danke für die Antwort!

Ich bin leider noch ein ziemlicher Anfänger auf dem Gebiet, aber die Euklidische Norm ist ja die 'Länge' eines Vektors wenn ich keinen Fehler mache, bedeutet das, dass ich [mm] (cos^{3}(t))' [/mm] als X-Koordinate und [mm] (sin^{3}(t))' [/mm] als Y-Koordinate des Vektors annehme und daraus die Euklidische Norm berechne als [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(cos^{3}(t))'^{2} + (sin^{3}(t))'^{2}} dt}? [/mm]

Es tut mir Leid, dass ich noch nachfragen muss, aber mir sind Asteroide bzw. Funktionen mit 2 Parametern komplett neu.

Bezug
                        
Bezug
Bogenlänge einer Asteroide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Do 13.12.2018
Autor: chrisno

Trau Dich ruhig mal, einen Fehler zu riskieren. Oft lernt man dabei etwas.
Du bist auf einem guten Weg, rechne das Integral aus. Das sieht doch vielversprechend und schön einfach aus.

Bezug
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