Cauchysche Integralformel < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 So 15.07.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Berechne das folgende komplexe Kurvenintegral längs der geschlossenen Kurve [mm] \alpha [/mm] in [mm] \IC [/mm] mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes bzw. mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel.
[mm]\integral_{|z|=1}{\bruch{dz}{i - 2z}}[/mm] |
Hi,
ich muss die oben stehende Aufgabe lösen und weiß überhaupt nicht wie ich das machen soll.
Die Cauchysche Integralformel kenn ich:
[mm]f(z) * Ind_{\gamma}(z) = \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma} \bruch{f(w)}{w - z} dw[/mm]
Ich hab auch die Lösung von der Aufgabe, versteh jedoch einfach nicht was gemacht wird:
[mm]\integral_{|z|=1}{\bruch{dz}{i - 2z}} = - \bruch{1}{2} \integral_{|z|=1} \bruch{dz}{z - \bruch{i}{2}} = - \bruch{1}{2} * 2 \pi i * 1 = - \pi i[/mm]
Kann mir das jemand vielleicht ein bisschen ausführlicher erklären? Bereite mich grad auf ne Prüfung vor und verzweifel da grad noch dran...
Wär super.
Danke,
Jonas
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Hallo
die Kurve in der Aufgabe ist der (einmal durchlaufene) Einheitskreis. Durch Ausklammern (und Ziehen vor das Integral) wird die gegebene Funktion auf die Form des Satzes gebracht. Die Funktion f im Zähler des Satzes wird in der Aufgabe so die die Funktion f(z)=1 für alle z. Jetzt brauchst du nur noch einsetzen.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 15.07.2007 | | Autor: | Jonez |
Hey, danke für die Antwort.
Ich denk ich hab es jetzt verstanden, aber nur nochmal ob das wirklich richtig ist:
Also ich hab das Integral: [mm]\integral_{|z|=1}{\bruch{dz}{i - 2z}}[/mm]
Und das will ich auf diese Form bringen: [mm]\integral_{\gamma} \bruch{f(w)}{w - z} dw[/mm]
Deshalb klammer ich ein [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] aus und erhalte damit: [mm]- \bruch{1}{2} \integral_{|z|=1} \bruch{dz}{z - \bruch{i}{2}}[/mm]
bzw. damit es von den Bezeichnungen gleich ist wie oben:
[mm]- \bruch{1}{2} \integral_{|w|=1} \bruch{1}{w - \bruch{i}{2}} dw[/mm]
Daraus ergibt sich, dass die Funktion [mm]f(w) = 1[/mm] ist und [mm] z = \bruch{i}{2}[/mm].
Außerdem ist [mm]Ind_{\gamma}(z) = 1[/mm], da der Punkt [mm] \bruch{i}{2}[/mm] genau einmal im positiven Sinne umlaufen wird.
Und daraus ergibt sich dann eben folgendes:
[mm]- \bruch{1}{2} \integral_{|w|=1} \bruch{1}{w - \bruch{i}{2}} dw = - \bruch{1}{2} * 2 \pi i * 1 * 1 = - \pi i[/mm]
Stimmt das alles so?
Danke,
Jonas
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Hallo Jonas,
jetzt ist alles korrekt!
Gruß Korbinian
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