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DGL 2. Ordnung allg Lsg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Do 25.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y '' +y ' - 2y = [mm] x^2 +e^{3x} [/mm]

Moin Moin,

1. Ich löse zunächst die homogene DGL  mithilfe des Exponentialansatzes

y '' +y ' - 2y = 0


y = [mm] e^{\lambda*x} [/mm]

y ' =  [mm] \lambda*e^{\lambda*x} [/mm]

y '' = [mm] \lambda^2*e^{\lambda*x} [/mm]

=> Charakteristische Gleichung

[mm] \lambda^2*e^{\lambda*x} [/mm] + [mm] \lambda*e^{\lambda*x} -2*e^{\lambda*x} [/mm] = 0

[mm] \lambda^2 +\lambda [/mm] -2 = 0

[mm] \lambda_1 [/mm] = 1   und [mm] \lambda_2 [/mm] = 2


[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^x [/mm] + [mm] C_2*e^{2x} [/mm]


2. Ich löse dann die inhomogene DGL bzw. ich berechne die partikuläre Lösung

Ansatz

[mm] y_p [/mm] = [mm] a*x^2 [/mm] +b*x +c

[mm] y_p [/mm] ' = 2ax +b

[mm] y_p [/mm] '' = 2a


=>

2a +(2ax+b) [mm] -2*(ax^2+bx [/mm] +c) = [mm] x^2 +e^{3x} [/mm]


Da Koeffizientenvergleich hier nicht funktioniert, wähle ich mir drei x-Werte...


x=0    2a +b -2c = 1

x=1    2a -b -2c = 1 + [mm] e^3 [/mm]

x =2   -2a -3b -2c = 4 + [mm] e^6 [/mm]


Das ergibt   a = -91,564  ;  b = -10,043  ;  c = -97,086


[mm] y_p [/mm] = [mm] -91,564*x^2 [/mm] -10,043x -97,086

Richtig?


[mm] y_a [/mm] = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm]

[mm] y_a [/mm] = [mm] C_1*e^x [/mm] + [mm] C_2*e^{2x} -91,564*x^2 [/mm] -10,043x -97,086


Richtig?




        
Bezug
DGL 2. Ordnung allg Lsg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Do 25.10.2018
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>
> y '' +y ' - 2y = [mm]x^2 +e^{3x}[/mm]
>  Moin Moin,
>  
> 1. Ich löse zunächst die homogene DGL  mithilfe des
> Exponentialansatzes
>  
> y '' +y ' - 2y = 0
>
>
> y = [mm]e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> y ' =  [mm]\lambda*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> y '' = [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> => Charakteristische Gleichung
>  
> [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm] + [mm]\lambda*e^{\lambda*x} -2*e^{\lambda*x}[/mm]
> = 0
>  
> [mm]\lambda^2 +\lambda[/mm] -2 = 0
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1   und [mm]\lambda_2[/mm] = 2


[mm] \lambda_2 [/mm] =2 stimmt nicht, sondern [mm] \lambda_2 [/mm] =-2


>  
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{2x}[/mm]

Nein, sondern [mm]y_h(x)[/mm] = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{-2x}[/mm].


>  
>
> 2. Ich löse dann die inhomogene DGL bzw. ich berechne die
> partikuläre Lösung
>  
> Ansatz
>  
> [mm]y_p[/mm] = [mm]a*x^2[/mm] +b*x +c

Dieser Ansatz ist völlig falsch ! In der Störfunktion kommt doch [mm] e^{3x} [/mm] vor !

Gehe so vor:

Bestimme eine spezielle Lösung [mm] y_p [/mm] von

$y '' +y ' - 2y =  [mm] x^2 [/mm]  $

und bestimme eine spezielle Lösung [mm] z_p [/mm] von

$y '' +y ' - 2y = [mm] e^{3x} [/mm] $.

Dann ist [mm] y_p+z_p [/mm] eine spezielle Lösung von $y '' +y ' - 2y =  [mm] x^2 +e^{3x} [/mm] $.


>  
> [mm]y_p[/mm] ' = 2ax +b
>  
> [mm]y_p[/mm] '' = 2a
>  
>
> =>
>
> 2a +(2ax+b) [mm]-2*(ax^2+bx[/mm] +c) = [mm]x^2 +e^{3x}[/mm]
>  
>
> Da Koeffizientenvergleich hier nicht funktioniert, wähle
> ich mir drei x-Werte...

Oh Gott .... das wird nix !


>  
>
> x=0    2a +b -2c = 1
>  
> x=1    2a -b -2c = 1 + [mm]e^3[/mm]
>  
> x =2   -2a -3b -2c = 4 + [mm]e^6[/mm]
>  
>
> Das ergibt   a = -91,564  ;  b = -10,043  ;  c = -97,086
>  
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]-91,564*x^2[/mm] -10,043x -97,086
>  
> Richtig?
>  
>
> [mm]y_a[/mm] = [mm]y_h[/mm] + [mm]y_p[/mm]
>
> [mm]y_a[/mm] = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{2x} -91,564*x^2[/mm] -10,043x -97,086
>  
>
> Richtig?
>  
>
>  


Bezug
                
Bezug
DGL 2. Ordnung allg Lsg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Fr 26.10.2018
Autor: hase-hh


> Gehe so vor:
>  
> Bestimme eine spezielle Lösung [mm]y_p[/mm] von
>
> [mm]y '' +y ' - 2y = x^2 [/mm]

Ich probiers mal.

[mm] y_p [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] +bx +c

[mm] y_p [/mm] ' = 2ax +b

[mm] y_p [/mm] '' = 2a


2a +2ax+b  [mm] -2*(ax^2+bx+c) [/mm] = [mm] x^2 [/mm]


[mm] (-2a)*x^2 [/mm] +(2a -2b)*x +(2a-2c) = [mm] x^2 [/mm]


=>  

-2a = 1
2a-2b = 0
2a-2c = 0

a= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

b= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

c= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

[mm] y_p [/mm] =  - [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm]  - [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm]  - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]   korrigiert


richtig?

> und bestimme eine spezielle Lösung [mm]z_p[/mm] von
>  
> [mm]y '' +y ' - 2y = e^{3x} [/mm].

Hier fehlt mir der Ansatz!  ?

[mm] z_p [/mm] = [mm] a*e^{bx} [/mm]   oder wie muss ich da weitermachen?


> Dann ist [mm]y_p+z_p[/mm] eine spezielle Lösung von [mm]y '' +y ' - 2y = x^2 +e^{3x} [/mm].




Bezug
                        
Bezug
DGL 2. Ordnung allg Lsg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Fr 26.10.2018
Autor: fred97


> > Gehe so vor:
>  >  
> > Bestimme eine spezielle Lösung [mm]y_p[/mm] von
> >
> > [mm]y '' +y ' - 2y = x^2[/mm]
>  
> Ich probiers mal.
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]ax^2[/mm] +bx +c
>
> [mm]y_p[/mm] ' = 2ax +b
>  
> [mm]y_p[/mm] '' = 2a
>  
>
> 2a +2ax+b  [mm]-2*(ax^2+bx+c)[/mm] = [mm]x^2[/mm]
>
>
> [mm](-2a)*x^2[/mm] +(2a -2b)*x +(2a-2c) = [mm]x^2[/mm]
>
>
> =>  

>
> -2a = 1
>  2a-2b = 0
> 2a-2c = 0
>
> a= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> b= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> c= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]y_p[/mm] = a= - [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] a= - [mm]\bruch{1}{2}+X[/mm] a= -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> richtig?

Ja, aber mit der Formatierung ist was schiefgegangen.


>  
> > und bestimme eine spezielle Lösung [mm]z_p[/mm] von
>  >  
> > [mm]y '' +y ' - 2y = e^{3x} [/mm].
>  
> Hier fehlt mir der Ansatz!  ?
>  
> [mm]z_p[/mm] = [mm]a*e^{bx}[/mm]   oder wie muss ich da weitermachen?

Ansatz: [mm] z_p(x)=ae^{3x} [/mm]


>  
>
> > Dann ist [mm]y_p+z_p[/mm] eine spezielle Lösung von [mm]y '' +y ' - 2y = x^2 +e^{3x} [/mm].
>  
>  
>
>  


Bezug
                                
Bezug
DGL 2. Ordnung allg Lsg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Fr 26.10.2018
Autor: hase-hh


> > > und bestimme eine spezielle Lösung [mm]z_p[/mm] von
>  >  >  
> > > [mm]y '' +y ' - 2y = e^{3x} [/mm].
>  >  
> > Hier fehlt mir der Ansatz!  ?
>  >  
> > [mm]z_p[/mm] = [mm]a*e^{bx}[/mm]   oder wie muss ich da weitermachen?
>  
> Ansatz: [mm]z_p(x)=ae^{3x}[/mm]

Ok, man lernt ja immer was dazu (hoffnungsvollerweise) :-)

[mm] z_p(x) [/mm] = [mm] a*e^{3x} [/mm]

[mm] z_p [/mm] ' (x) = [mm] 3a*e^{3x} [/mm]

[mm] z_p [/mm] '' (x) = [mm] 9a*e^{3x} [/mm]


[mm] 9a*e^{3x} [/mm] + [mm] 3a*e^{3x} -2*e^{3x} [/mm] = [mm] e^{3x} [/mm]   | * [mm] e^{3x} [/mm]


9a + 3a  -2 = 1
  
a = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]


[mm] z_p [/mm] =   [mm] \bruch{1}{4}*e^{3x} [/mm]

richtig?

>  

Daraus ergibt sich die spezielle Lösung

[mm] y_p [/mm] + [mm] z_p [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*e^{3x} [/mm]

...

Bezug
                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung allg Lsg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Fr 26.10.2018
Autor: fred97


> > > > und bestimme eine spezielle Lösung [mm]z_p[/mm] von
>  >  >  >  
> > > > [mm]y '' +y ' - 2y = e^{3x} [/mm].
>  >  >  
> > > Hier fehlt mir der Ansatz!  ?
>  >  >  
> > > [mm]z_p[/mm] = [mm]a*e^{bx}[/mm]   oder wie muss ich da weitermachen?
>  >  
> > Ansatz: [mm]z_p(x)=ae^{3x}[/mm]
>  
> Ok, man lernt ja immer was dazu (hoffnungsvollerweise) :-)
>  
> [mm]z_p(x)[/mm] = [mm]a*e^{3x}[/mm]
>  
> [mm]z_p[/mm] ' (x) = [mm]3a*e^{3x}[/mm]
>  
> [mm]z_p[/mm] '' (x) = [mm]9a*e^{3x}[/mm]
>  
>
> [mm]9a*e^{3x}[/mm] + [mm]3a*e^{3x} -2*e^{3x}[/mm] = [mm]e^{3x}[/mm]   | * [mm]e^{3x}[/mm]
>  
>
> 9a + 3a  -2 = 1

Nein, sondern 9a+3a-2a=1


>
> a = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>  
>
> [mm]z_p[/mm] =   [mm]\bruch{1}{4}*e^{3x}[/mm]
>
> richtig?
>  >  
>
> Daraus ergibt sich die spezielle Lösung
>  
> [mm]y_p[/mm] + [mm]z_p[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*x[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}*e^{3x}[/mm]
>
> ...


Bezug
                                                
Bezug
DGL 2. Ordnung allg Lsg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Sa 27.10.2018
Autor: hase-hh

OK, also...

[mm]9a*e^{3x}[/mm] + [mm]3a*e^{3x} -2*e^{3x}[/mm] = [mm]e^{3x}[/mm]   | : [mm]e^{3x}[/mm]

9a + 3a  -2a = 1

a = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]


[mm]z_p[/mm] =   [mm]\bruch{1}{10}*e^{3x}[/mm]

richtig?


Daraus ergibt sich die spezielle Lösung
  
[mm]y_p[/mm] + [mm]z_p[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{10}*e^{3x}[/mm]

...
  


Bezug
                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung allg Lsg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Sa 27.10.2018
Autor: fred97


> OK, also...
>  
> [mm]9a*e^{3x}[/mm] + [mm]3a*e^{3x} -2*e^{3x}[/mm] = [mm]e^{3x}[/mm]   | : [mm]e^{3x}[/mm]
>  
> 9a + 3a  -2a = 1
>
> a = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>  
>
> [mm]z_p[/mm] =   [mm]\bruch{1}{10}*e^{3x}[/mm]
>
> richtig?
>  
>
> Daraus ergibt sich die spezielle Lösung
>    
> [mm]y_p[/mm] + [mm]z_p[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*x[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{10}*e^{3x}[/mm]
>

jetzt  stimmts

> ...
>
>  


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