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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Darstellende Matrix
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Darstellende Matrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 So 22.05.2005
Autor: Adele

Hallo,
ich hab da noch ein weiteres Problem mit einer Aufgabe, tut mir leid, das ich schon wieder keine Ahnung davon habe, aber die Definitionen aus der Vorlesung und aus Büchern helfen mir dabei einfach nicht weiter. Wäre super, wenn mir dabei jemand dazu vielleicht ein paar Tips geben könnte, ich wäre echt dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Die Aufgabe lautet:
Berechne die darstellende Matrix der linearen Abbildung f: [mm] \IR³ \to \Rr³, [/mm]
f(x,y,z) = (4(x-y)+7z,3(x-y)+5z,2x-y+z)
bezüglich der Basis { [mm] e_{1},e_{1}+e_{2},e_{1}+e_{2}+e_{3} [/mm] }, wobei { [mm] e_{1},e_{2},e_{3} [/mm] } die Standartbasis [mm] \IR³ [/mm] bezeichnet.

Liebe Grüße,
Adele

        
Bezug
Darstellende Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 So 22.05.2005
Autor: DaMenge

Hallo nochmal,

der wichtigste Tip im Umgang mit Darstellungsmatrizen ist : Die Bilder der Basisvektoren stehen als Spalten in der Darstellungsmatrix.

was sagt uns das nun?
wenn wir Standardbasis hätten, bräuchte man nur jeden [mm] e_i [/mm] in f einsetzen und schauen, welche Vektoren rauskommen, also $ [mm] e_2=\vektor{0\\1\\0} [/mm] $ in f eingestzt ergibt : $ [mm] f(0,1,0)=\vektor{(4(0-1)+7*0\\3(0-1)+5*0\\2*0-1+0)}=\vektor{-4\\-3\\-1} [/mm] $ - dies wäre unsere zweite Spalte !

so - jetzt haben wir aber eine neue Basis gegeben, aber es bleibt die selbe Abbildung - d.h. jetzt kommen die Transformationsmatrizen ins Spiel.
Das läuft so: $ [mm] B=C^{-1}*A*C [/mm] $
wobei : A unsere Matrix in Standardbasis ist, B unsere Matrix in neuer Basis , d.h wenn ich einen Vektor in neuer Basisdarstellung reinstecke, soll ich das Bild in der neuen Darstellung rausbekommen.
Und C sind die Transformationsmatrizen, die haben folgende Aufgabe:
wenn ich ganz rechts einen Vektor in neuer Basisgestalt reinstecke, dann soll C diesen Vektor nur in Standardbasis umwandeln - in dieser Darstellung wird der Vektor nun in A reingesteckt und liefert das Bild in Standardbasis - dieser Bildvektor muss nun noch durch $ [mm] C^{-1} [/mm] $ in neue Basisgestalt zurückgewandelt werden.

Du musst also nur A und C (und dann $ [mm] C^{-1} [/mm] $ ) bestimmen. A habe ich oben schon erklärt und C ist genauso einfach : ein neuer Basisvektor soll in Standardbasis dargestellt werden, d.h. wenn du den Tip ganz oben beachtest: das Bild des neuen Basisvektors soll die Darstellung des selben in Standardbasis sein - und diese Darstellung steht dann in den Spalten.
Beispiel neuer Basisvektor $ [mm] v_2=e_1 +e_2 [/mm] $ also ist das Bild von [mm] v_2 [/mm] in Standardbasis $ [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] $ und dies ist die zweite Spalte von C

du kannst also nun A und C und dann noch $ [mm] C^{-1} [/mm] $ bestimmen und dann B ausrechnen.

schreibe doch mal auf, wie weit du damit kommst.

üpbrigens ein guter Artikel über Transformationsmatrizen findest du []HIER

viele Grüße
DaMenge

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Darstellende Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 So 22.05.2005
Autor: Adele

Danke für die schnelle Hilfe!

Das heißt dann, dass die Basisvektoren in dem Fall (1,0,0), (1,1,0) und (1,1,1) sind, ich diese dann in f einsetzte und dadurch die Darstellungsmatrix erhalte?

Dann bekomme ich die folgende Matrix raus:  [mm] \pmat{ 4 & 0 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ 2 & 2 & 2} [/mm]

Und danach rechne ich dann die Transformationsmatrix aus und damit wäre die Aufgabe gelöst? Hab ich das richtig verstanden?

Liebe Grüße,
Adele

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Darstellende Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 So 22.05.2005
Autor: DaMenge

Hi,

nicht ganz: du hast die neue Basis bzgl der Standardbasis in f reingesteckt und bekommst dshalb auch nur die Bilder bzgl der Standardbasis raus.
entweder du rechnest diese dann noch um in neue Basis (also $ [mm] C^{-1} [/mm] $ noch links dranmultiplizieren) oder du rechnest A aus, indem du nur die Standardvektoren reinsteckst (nicht die neue Basis) und danach noch C und $ [mm] C^{-1} [/mm] $ berechnest.

viele Grüße
DaMenge

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Darstellende Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 So 22.05.2005
Autor: NECO

Hallo, Ganz genau

[mm] f(\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm]  =    [mm] \vektor{4(x-y)+7z\\ 3(x-y)+5z \\ 2x-y+z} [/mm]

f( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 2} [/mm]

f( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

f( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 5 \\ 2} [/mm]

Also deine MAtrix sieht dann so aus.


[mm] \pmat{ 4 & 0 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 2 } [/mm]


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Darstellende Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 So 22.05.2005
Autor: NECO

Hallo,

Ich glaueb es gibt nur Probleme mit Basen.  Mann muss erst wissen, welche Vektoren mann Abbilden muss, Nach der Abbildung  Kannst du dann die einzelne Bilder, also die Spalten Vektoren  mit eine Andere Basis darstellen.  Am ende Hast du dann noch eine Matrix.

Dann kann man ja die Inverse uzw  rechnen.


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Darstellende Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 So 22.05.2005
Autor: Adele

Jetzt bin ich ein wenig verwirrt :)
Was stimmt denn nu?

Ich habe jetzt 2 Matrizen ausgerechnet, einmal mit der Standartbasis, da bekomme ich  [mm] \pmat{ 4 & -4 & 7 \\ 3 & -3 & 5 \\ 2 & -1 & 1} [/mm] raus und einmal mit der neuen Basis, also die Matrix [mm] \pmat{ 4 & 0 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 2}. [/mm]

Wenn ich die Transformationsmatrix dann bilden will (B = [mm] C^{-1} [/mm] * A * C), dann wäre [mm] A=\pmat{ 4 & -4 & 7 \\ 3 & -3 & 5 \\ 2 & -1 & 1} [/mm] und was wäre dabei die zweite Matrix?

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Darstellende Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 So 22.05.2005
Autor: DaMenge

Wie ich schon sagte:
in die zweite Matrix steckst du einen Vektor bzgl neuer Basis, aber bekommst einen bzgl Standardbasis heraus, d.h. die zweite Matrix entspricht : (A*C)
du musst links noch mit $ [mm] C^{-1} [/mm] $ multiplizieren, was das selbe ist wie die Spalten bzgl der neuen Basis darzustellen.

wie sieht denn C aus? und wie dann $ [mm] C^{-1} [/mm] $ ?
(siehe meine erste Antwort)

viele Grüße
DaMenge

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Darstellende Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 So 22.05.2005
Autor: Adele

Hmm.. irgendwie steh ich jetzt total aufm Schlauch :) ... wie komm ich denn nur an C, wenn die Matrix, die ich berechnet habe (A * C) entspricht?
Ich hatte das in deiner ersten Antwort scheinbar falsch verstanden, weil ich dachte ich bekäme C in dem ich die neue Basis in f einsetze.
Oder ist C ganz einfach  [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] ?


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Darstellende Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 So 22.05.2005
Autor: DaMenge

Ganz genau !!!

die Spalten von C sind einfach die Darstellung der neuen Basis bzgl der alten (hier: Standard-) Basis !
(es soll ja auch nur die Basis transformieren - der reingesteckte Vektor bleibt also derselbe - nur eben in anderer Basisdarstellung)

dein C ist also richtig, du musst nur noch $ [mm] C^{-1} [/mm] $ berechnen und LINKS ranmultiplizieren !
Wie man das Inverse berechnet weißt du hoffentlich, von wegen Einheitsmatrix daneben und solange umformen...

viele Grüße
DaMenge

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Darstellende Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 So 22.05.2005
Autor: Adele

Ja, Inverse berechnen kann sogar ich ...
ich danke dir vielmals! Ohne deine Hilfe wäre ich warscheinlich an der Aufgabe verzweifelt :)

Liebe Grüße,
Adele

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