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Forum "Determinanten" - Determinante bestimmen
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Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Mi 19.10.2016
Autor: questionpeter

Aufgabe
seien a,b,c [mm] \in \R. [/mm] Bestimmen Sie die Determinante der [mm] n\times [/mm] n-Matrix

[mm] \pmat{ a & b & b & \cdots &b\\ c & a & b & \cdots & b \\c& c&a &\cdots &b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c & c& c & \cdots &a} [/mm]

Hallo zusammen,

ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe etwas helfen bzw. paar Tipps geben.

Und zwar hätte jetzt mit der Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinante berechnet.

Ich hätte es nach der 1. Zeile entwickelt. Dann erhalte ich:

ich bezeichne die Matrix einfach mit A

det(A)= [mm] a*(-1)^{1+1}\pmat{ a & b & \cdots &b\\ c & a & \cdots & b\\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\ c &c &c \dots& a } [/mm] +

[mm] b*(-1)^{1+2}\pmat{ c & b & \cdots &b\\ c & a& \cdots & b\\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\ c &c &\cdots& a } [/mm] +

[mm] b*(-1)^{1+3}\pmat{ c & a & b & \cdots &b\\ c & c& b & \cdots & b\\ c & c & a& \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ c &c &c &\cdots& a } [/mm] + [mm] \cdots [/mm]

aber irgendwie komme ich nicht weiter. theoretisch müsste ich dann nochmal die laplacesche entwicklungssatz nochmal anwenden.

Kann mir jemand weiterhelfen.

Ich habe mir auch überlegt die Matrix in eine Dreiecksform zu bringen, denn dann wäre es einfacher zu berechnen. Darf ich das überhaupt?

Dankeschön im Voraus.

        
Bezug
Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Mi 19.10.2016
Autor: abakus

Hallo Questionpeter,
es ist zwar Jahrzehnte her, aber ich erinnere mich dunkel, dass man eine Zeile mit dem Vielfachen einer anderen Zeile addieren darf?
Wenn du nur mal die erste und zweite Zeile nimmst: So ließen sich VIELE Nullen erzeugen...

Bezug
                
Bezug
Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Do 20.10.2016
Autor: questionpeter

Hallo abakus,

nochmals danke für deinen Hinweis. Das habe ich mir auch schon überlegt denn, wenn ich z.B. alle Zeilen mit der n-te Zeile subtrahiere erhalte ich dann folgende  Dreiecksmatrix:

[mm] \pmat{ a-c & b-c& b-c & \cdots & b-c\\ 0 & a-c &b-c& \cdots& b-c\\0&0& a-c &\cdots&b-c\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots \\ 0&0&0& \cdots& a-c} [/mm]

die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Hauptdiagonalen, d.h. [mm] det(A)=(a-c)^n [/mm]

Ist es soweit richtig? Dankeschön im Voraus.

Bezug
                        
Bezug
Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Do 20.10.2016
Autor: chrisno

Das ist so nicht richtig. Wie ist Deine letzte Zeile entstanden?

Bezug
                                
Bezug
Determinante bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:20 Fr 21.10.2016
Autor: questionpeter

stimmt, habe ich total übersehen. Danke für den Hinweis.

Ich habe jetzt die 2. Spalte mit der 1. Spalte subtrahiert und erhalte dann diese Matrix:

[mm] \pmat{ a-b & b&b& \cdots &b\\ c-a & a&b&\cdots&b \\0&c&a&\cdots&b\\ \vdots& \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\ 0& c& c& \cdots & a } [/mm]

Entwickle dann nach der 1. Spalte mit Laplacesische Entwicklungssatz:

det(A)= [mm] (a-b)*(-1)^{1+1}*\pmat{ a & b&b& \cdots &b\\ c & a&b&\cdots&b \\c&c&a&\cdots&b\\ \vdots& \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\ c& c& c& \cdots & a } [/mm] + [mm] (c-a)*(-1)^{2+1}\pmat{ b & b&b& \cdots &b\\ c & a&b&\cdots&b \\c&c&a&\cdots&b\\ \vdots& \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\ c& c& c& \cdots & a } [/mm]

ab da komme ich einfach nicht weiter bzw man könnte auf die beiden Matrizen nochmal den ENtwickklungssatz anwenden aber bei der 1. Matrix erhalte ich dann wieder das Ergebnis wie da oben solange bis ich eine [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix habe dann erst könnte ich die Determinate berechnen.

Bei der 2. Matrix dasselbe, aber da ist es etwas einfacher denn wenn ich die 2. Spalte mit der 1. Spalte subtrahiere, erhalte ich eine Matrix bei den alle Einträge außer einen Null ergeben:

[mm] \pmat{ 0 & b&b& \cdots &b\\ c-a & a&b&\cdots&b \\0&c&a&\cdots&b\\ \vdots& \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\ 0& c& c& \cdots & a } [/mm]

dann nach der 1. Spalte entwickle erhalte dann wieder :

[mm] (c-a)*(-1)^{2+1}\pmat{ b & b&b& \cdots &b\\ c & a&b&\cdots&b \\c&c&a&\cdots&b\\ \vdots& \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\ c& c& c& \cdots & a } [/mm]

das mache ich sooft bis ich am ende eine [mm] 3\times [/mm] 3 Matrix bekomme:

[mm] \cdots [/mm] = [mm] (c-a)^{n-4}*(-1)^{3(n-4)}\pmat{b&b&b\\c&a&b\\c&c&a} [/mm]
darauf kann man die Regel von Sarrus verwenden und bekomme dann

[mm] (c-a)^{n-4}*(-1)^{3(n-4)}(ba^2+b^2c-2abc) [/mm]

[mm] \Rightarrow (a-b)*(-1)^{1+1}*\pmat{ a & b&b& \cdots &b\\ c & a&b&\cdots&b \\c&c&a&\cdots&b\\ \vdots& \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\ c& c& c& \cdots & a } +(c-a)^{n-4}*(-1)^{3(n-4)}(ba^2+b^2c-2abc) [/mm]

Kann mir jemand weiterhelfen bzw bin ich auf dem richtigen Weg?

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Bezug
Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Fr 21.10.2016
Autor: chrisno

Das ist nicht so mein Thema, darum gibt es vielleicht noch bessere Tipps.
- warum lässt Du die erste Zeile nicht in Frieden?
- Du kannst die Letzte Zeile von (nicht "mit) allen anderen Subtrahieren, dan nsieht das schon recht nett aus.
- Wie sieht es dann aus, wenn Du nach der verbleibenden letzten Zeile entwickelst?

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Determinante bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 So 23.10.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:16 Fr 21.10.2016
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


Woher stammt diese Aufgabe?

Soll da wirklich für beliebige [mm] $a,b,c\in\IR$ [/mm] ein überschaubares Ergebnis rauskommen?

Ich erhalte schon für kleine n ziemliche "Ungetüme" als Ergebnisse, die sich anscheinend nicht weiter vereinfachen lassen...

Die Berechnung der Determinanten für kleine n ließ mich auf folgende Vermutung (!) kommen:
Die gesuchte Determinante lautet

(Achtung, nur Vermutung! ---> )     [mm] $a^n+\sum_{l=2}^n(-1)^{l+1}\binom{n}{l}a^{n-l}\sum_{k=1}^{l-1}b^{l-k}c^k$. [/mm]

Diese Vermutung stimmt jedenfalls für $n=0$ bis $n=5$.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:51 Sa 22.10.2016
Autor: hippias

Ich habe an die Leibniz-Formel gedacht, bin aber auch auf kein einfaches Ergebnis gekommen.

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