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Forum "Determinanten" - Determinate Vektor 3x2
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Determinate Vektor 3x2: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Aufgabe
Bilde das vektorielle Produkt aus  [mm]\vec c [/mm] und   [mm]\vec d[/mm]
sowie   [mm]\vec d[/mm] und   [mm]\vec c[/mm] mit Hilfe der Determinante.

[mm]\vec c[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm]
[mm]\vec d[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm]


Hallo Forengemeinde ;-)

ich will die oben genannte Aufgabe berechnen. Allerdings habe ich keinen Schimmer wie ich von zwei Vektoren die Determinate finden soll?
Bei 3x3 ist es ja klar.

Vorher noch eine VerständnissFrage, vektorielle Produkt = Kreuzprodukt?

Hoffe auf Hilfe, Vielen Dank.

Viele Grüße




        
Bezug
Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Do 25.02.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Bilde das vektorielle Produkt aus  [mm]\vec c[/mm] und   [mm]\vec d[/mm]
> sowie   [mm]\vec d[/mm] und   [mm]\vec c[/mm] mit Hilfe der Determinante.
>  
> [mm]\vec c[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 12 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
>  [mm]\vec d[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> Hallo Forengemeinde ;-)
>  
> ich will die oben genannte Aufgabe berechnen. Allerdings
> habe ich keinen Schimmer wie ich von zwei Vektoren die
> Determinate finden soll?
>  Bei 3x3 ist es ja klar.
>  
> Vorher noch eine VerständnissFrage, vektorielle Produkt =
> Kreuzprodukt?
>  
> Hoffe auf Hilfe, Vielen Dank.
>  
> Viele Grüße


Hallo,

man kann das Vektorprodukt von zwei Vektoren a und b
folgendermaßen als Determinante schreiben:

     [mm] $\vec{a}\times\vec{b}\ [/mm] =\ [mm] \vmat{a_x&b_x&\vec{e_x}\\a_y&b_y&\vec{e_y}\\a_z&b_z&\vec{e_z}}$ [/mm]

Dabei ist z.B.  [mm] $\vec{e_x}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{1\\0\\0}$ [/mm]


LG    Al-Chw.

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Determinate Vektor 3x2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

hallo Al-Chwarizmi ,

Vielen Dank für deine Antwort.




det = [mm] \vmat{12&-2&1 \\-3&10&0 \\5 &-5&0} [/mm]

= -35 = vektorielle Produkt aus  $ [mm] \vec [/mm] c $ und   $ [mm] \vec [/mm] d $

Kommt der Einheitsverktor immer ans Ende?

bei Wiki stehts nämlich so:

det [mm] \vmat{\vec{e_x}&b_x&a_x\\\vec{e_y}&b_y&a_y\\\vec{e_z}&b_z&a_z} [/mm]


Viele Grüße


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Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Do 25.02.2010
Autor: leduart

Hallo
die antwort kannst du selbst finden: was ändert sich wenn mna 2 Spalten einer Det vertauscht?
oder rechne es mal nach wiki mal nach Al-Chwarizmi
Gruss leduart

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Determinate Vektor 3x2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo leduart,

ah ja, wenn ich richtig gerechnet habe, verändert sich nichts ;-)

Aber wenn ich c und d vertausche?

vektorielle Produkt aus  $ [mm] \vec [/mm] c $ und   $ [mm] \vec [/mm] d $ = -35
$ [mm] \vec [/mm] d $ und   $ [mm] \vec [/mm] c $ = 35

Stimmt das so?

Viele Grüße


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Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Do 25.02.2010
Autor: leduart

Hallo
das Vektorprodukt [mm] a\times [/mm] b= [mm] -b\times [/mm] a ist richtig.
Aber das Vektorprodukt ist ein Vektor, nicht ne Zahl!
du hast wohl die x Komponente deines Vektorprodukts gemeint?
Gruss leduart

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Determinate Vektor 3x2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Aufgabe
Bilde das vektorielle Produkt aus  $ [mm] \vec [/mm] c $ und   $ [mm] \vec [/mm] d $
sowie   $ [mm] \vec [/mm] d $ und   $ [mm] \vec [/mm] c $ mit Hilfe der Determinante.  

Hallo,
bin jetzt ein wenig verwirrt... obendrüber ist ja
die Aufgabenstellung. Wie rechne ich das denn aus um die Aufgabe korrekt zu lösen?

Bezug
                                                        
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Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Do 25.02.2010
Autor: leduart

Hallo
du hast die x komp. also die Unterdet. zu [mm] e_x [/mm] richtig. jetzt die y und z Komponente, also die unterdet. die zu den ensprechenden [mm] e_y, e_z [/mm] gehören.
Gruss leduart

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Determinate Vektor 3x2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo,

verktorielle Produkt = $ [mm] \begin{pmatrix} -35 \\ 50 \\ 114 \end{pmatrix} [/mm] $

so oder?

Bezug
                                                                        
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Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Do 25.02.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> verktorielle Produkt = [mm]\begin{pmatrix} -35 \\ 50 \\ 114 \end{pmatrix}[/mm]     [daumenhoch]
>
> so oder?


das stimmt.


Bezug
                                                                                
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Determinate Vektor 3x2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo,

oh achso.

$ [mm] \vmat{12&-2&\vec{e_x} \\-3&10&\vec{e_y} \\5 &-5&\vec{e_z}} [/mm] $

$ [mm] \vec{e_x}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] $ ; $ [mm] \vec{e_y}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] $ ; $ [mm] \vec{e_z}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] $

Also so zu verstehen?

Jetzt weiß ich aber immernoch nicht, wie ich das vektorielle Produkt mit Hilfe der Determinante ausrechne?

Bezug
                                                                                        
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Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Do 25.02.2010
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> oh achso.
>  
> [mm]\vmat{12&-2&\vec{e_x} \\-3&10&\vec{e_y} \\5 &-5&\vec{e_z}}[/mm]
>  
> [mm]\vec{e_x}\ =\ \vektor{1\\0\\0}[/mm] ; [mm]\vec{e_y}\ =\ \vektor{0\\1\\0}[/mm]
> ; [mm]\vec{e_z}\ =\ \vektor{0\\0\\1}[/mm]
>  
> Also so zu verstehen?
>  
> Jetzt weiß ich aber immernoch nicht, wie ich das
> vektorielle Produkt mit Hilfe der Determinante ausrechne?

[mm] 12*10*\vec{e_z}+(-2)*\vec{e_y}*5+\vec{e_x}*(-3)*(-5) [/mm] MINUS [mm] (\vec{e_x}*10*5 [/mm] + [mm] 12*\vec{e_y}*(-5)+(-2)*(-3)*\vec{e_z} [/mm] )

siehe "Regel von Sarrus".
Gruß Abakus




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Determinate Vektor 3x2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo Abakus,

das weiß ich ja, "Regel von Sarrus".


$ [mm] 12\cdot{}10\cdot{}\vec{e_z}+(-2)\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}5+\vec{e_x}\cdot{}(-3)\cdot{}(-5) [/mm] $ MINUS $ [mm] (\vec{e_x}\cdot{}10\cdot{}5 [/mm] $ + $ [mm] 12\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}(-5)+(-2)\cdot{}(-3)\cdot{}\vec{e_z} [/mm] $ )

Weiß aber nicht, wie ich [mm] \vec{e_z}, \vec{e_y}, \vec{e_x} [/mm] in der Regel/Formel "verarbeiten" soll?!

Viele Grüße

Bezug
                                                                                                        
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Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Do 25.02.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Abakus,
>  
> das weiß ich ja, "Regel von Sarrus".
>  
>
> [mm]12\cdot{}10\cdot{}\vec{e_z}+(-2)\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}5+\vec{e_x}\cdot{}(-3)\cdot{}(-5)[/mm]
> MINUS [mm](\vec{e_x}\cdot{}10\cdot{}5+12\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}(-5)+(-2)\cdot{}(-3)\cdot{}\vec{e_z})[/mm]
>
> Weiß aber nicht, wie ich [mm]\vec{e_z}, \vec{e_y}, \vec{e_x}[/mm]
> in der Regel/Formel "verarbeiten" soll?!
>  
> Viele Grüße


Na, z.B. der allererste Summand ist  $\ [mm] 12*10*\vec{e_z}\ [/mm] =\ [mm] 120*\vektor{0\\0\\1}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{0\\0\\120}$ [/mm]
Nachher hast du eine Summe von Vektoren zu einem
Vektor zusammenzufassen.

LG

Bezug
                                                                                                                
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Determinate Vektor 3x2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo,

ah Okay.
Ich hab die Terme mal einzeln ausgerechnet, hoffe richtig?
[mm] 12\cdot{}10\cdot{}\vec{e_z} [/mm] = 120
[mm] +(-2)\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}5 [/mm] = -10
[mm] +\vec{e_x}\cdot{}(-3)\cdot{}(-5) [/mm] = 15
MINUS
[mm] (\vec{e_x}\cdot{}10\cdot{}5 [/mm] = 50
[mm] +12\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}(-5) [/mm] =-60
[mm] +(-2)\cdot{}(-3)\cdot{}\vec{e_z}) [/mm] = 6

Wie rechne ich dann weiter?
so? 120 - 50 ; -10 -60 ; 15 -6 ;

Vektor wäre ja dann:

[mm] \vektor{9\\-70\\70} [/mm]



Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Do 25.02.2010
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> ah Okay.
>  Ich hab die Terme mal einzeln ausgerechnet, hoffe
> richtig?
>   [mm]12\cdot{}10\cdot{}\vec{e_z}[/mm] = 120

Nein, 120 [mm] \vec{e_z} [/mm]

>  [mm]+(-2)\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}5[/mm] = -10

Nein, -10 [mm] \vec{e_y} [/mm]

>  [mm]+\vec{e_x}\cdot{}(-3)\cdot{}(-5)[/mm] = 15

15 [mm] \vec{e_x} [/mm]

>   MINUS
> [mm](\vec{e_x}\cdot{}10\cdot{}5[/mm] = 50

[mm] 50\vec{e_x} [/mm]

>  [mm]+12\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}(-5)[/mm] =-60

-60 [mm] \vec{e_y} [/mm]

>  [mm]+(-2)\cdot{}(-3)\cdot{}\vec{e_z})[/mm] = 6

6 [mm] \vec{e_z} [/mm]

>  
> Wie rechne ich dann weiter?
>  so? 120 - 50 ; -10 -60 ; 15 -6 ;

Leider nein.
RICHTIGE Vielfache der drei Einheitsvektoren zusammenfassen; beim zweiten Mal aufpassen,
dass -(-60) gleich +60 ist:

[mm] (15-50)\vec{e_x} [/mm]
[mm] (-10-(-60))\vec{e_y} [/mm]
[mm] (120-6)\vec{e_z} [/mm]
Ergebnis:

[mm] -35\vec{e_x}+50\vec{e_y}+114\vec{e_z}=[/mm] [mm]\vektor{-35\\50\\114}[/mm]
Gruß Abakus

>  
> Vektor wäre ja dann:
>  
> [mm]\vektor{9\\-70\\70}[/mm]
>  
>  


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Determinate Vektor 3x2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Do 25.02.2010
Autor: MatheNullplan00

Hallo,

da hätte ich selbst draufkommen müssen $ [mm] \vec{e_z} [/mm] $ zu $ [mm] \vec{e_z} [/mm] $ usw...
Aber jetzt weiß ich ja bescheid wie so etwas mit Hilfe der Determinante zu Rechnen ist. Anders ist natürlich etwas angenehmer...

Vielen Dank an alle die mir geholfen haben!!!

Einen schönen Abend wünsche ich noch.

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Determinate Vektor 3x2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Do 25.02.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> hallo Al-Chwarizmi ,
>  
> Vielen Dank für deine Antwort.
>

> det = [mm]\vmat{12&-2&1 \\-3&10&0 \\5 &-5&0}[/mm]

So war das allerdings nicht gemeint, sondern:

    det = [mm]\vmat{12&-2&\vec{e_x} \\-3&10&\vec{e_y} \\5 &-5&\vec{e_z}}[/mm]

Dabei sind die [mm] \vec{e_x}, \vec{e_y},\vec{e_z} [/mm] immer noch Dreiervektoren !


>
> = -35 = vektorielle Produkt aus  [mm]\vec c[/mm] und   [mm]\vec d[/mm]

  

> Kommt der Einheitsvektor immer ans Ende?

Zyklische Vertauschung der Spalten- oder auch
der Zeilenvektoren verändert die Determinante nicht.
Vertauschung von zwei Vektoren ändert das Vorzeichen.

  

> bei Wiki stehts nämlich so:
>  
> det
> [mm]\vmat{\vec{e_x}&b_x&a_x\\\vec{e_y}&b_y&a_y\\\vec{e_z}&b_z&a_z}[/mm]
>  
> Viele Grüße


LG   Al-Chw.  


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