matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationstheorieDiff.-barkeit mit Integral
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Integrationstheorie" - Diff.-barkeit mit Integral
Diff.-barkeit mit Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Diff.-barkeit mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 So 22.11.2015
Autor: mathelernender

Aufgabe
Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig und seien g,h:I [mm] \to [/mm] [a,b] differenzierbar auf I, wobei I ein Intervall sei. Zeige, dass dann auch K:I [mm] \to \IR [/mm] mit

K(x) = [mm] \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt} [/mm]

differenzierbar auf I ist und K'(x) = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x) gilt.


Hallo,

bei der Aufgabe bräuchte ich ein paar Denkanstöße. Für Differenzierbarkeit muss ich prüfen, ob der Grenzwert:

[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm]

existiert.

Für meine Aufgabe heißt das:

[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{K(x+h) - K(x)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]

soweit so gut. Nun weiß ich aber nicht weiter, weil sich die Integrale nicht zusammen fassen so ohne weiteres...

Oder ist der Ansatz schon der falsche weg?

        
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 So 22.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Sei f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] stetig und seien g,h:I [mm]\to[/mm] [a,b]
> differenzierbar auf I, wobei I ein Intervall sei. Zeige,
> dass dann auch K:I [mm]\to \IR[/mm] mit

>

> K(x) = [mm]\integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}[/mm]

>

> differenzierbar auf I ist und K'(x) = f(h(x))h'(x) -
> f(g(x))g'(x) gilt.
> Hallo,

>

> bei der Aufgabe bräuchte ich ein paar Denkanstöße. Für
> Differenzierbarkeit muss ich prüfen, ob der Grenzwert:

>

> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm]

>

> existiert.

>

> Für meine Aufgabe heißt das:

>

> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{K(x+h) - K(x)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h}[/mm]

>

> soweit so gut. Nun weiß ich aber nicht weiter, weil sich
> die Integrale nicht zusammen fassen so ohne weiteres...

>

> Oder ist der Ansatz schon der falsche weg?

Kannst du nicht den Hauptsatz der Integralrechnung bemühen - unter Beachtung der Kettenregel?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:31 So 22.11.2015
Autor: mathelernender

Möglicherweise kann man das so machen.

Der lautet bei uns:

Sei I ein Intervall. f [mm] \in [/mm] c(I) und a [mm] \in [/mm] I. Für x [mm] \in [/mm] I sei F(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}. [/mm] Dann ist F differenzierbar.
Der Beweis läuft dann über den Grenzwert, wie ich ihn oben für meine Aufgabe auch benutzen wollte und den MWS der Integralrechnung.

Ok, dann mal wieder zur Aufgabe zurück:

Ich wähle:

g(x), h(x) [mm] \in [/mm] [a,b] und a [mm] \in [/mm] [a,b].
Dann gilt nach dem Haupsatz der Integralrechnung.

Für x [mm] \in [/mm] I ist F(x) = [mm] \integral_{g(x)}^{a}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{h(x)}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt} [/mm]

Und das wäre ja genau K und nach dem Satz Diffbar. Meintest Du das eventuell so?

Bezug
                        
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 24.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 So 22.11.2015
Autor: HJKweseleit

[mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]    jetzt die nahrhafte 0 einfügen

= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} +(\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}-\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt})- \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]     trennen

= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} +\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]  - [mm] \bruch{\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}+ \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]     Integralregel


= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt} }{h} [/mm]  - [mm] \bruch{\integral_{h(x+h)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]


= [mm] \bruch{\integral_{h(x)}^{h(x+h)}{f(t) dt}}{h} [/mm] - [mm] \bruch{\integral_{g(x)}^{g(x+h)}{f(t) dt} }{h} [/mm]

Rest machst du.

Bezug
                
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 So 22.11.2015
Autor: mathelernender

Danke, habs jetzt hinbekommen! :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]