matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationDiffbarkeit einer Stammfkt.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Differentiation" - Diffbarkeit einer Stammfkt.
Diffbarkeit einer Stammfkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Diffbarkeit einer Stammfkt.: Diffbarkeit einer Stammfkt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Sa 14.09.2013
Autor: Boogey

Aufgabe
[mm] f(n)=\begin{cases} 0 + c_{1}, & x \in [-1,0[ \\ x + c_{2}, & x \in [0,1]\end{cases} [/mm]

Hi,

wenn ich die Diffbarkeit der Funktion prüfen will, betrachte ich ja am Besten den linksseitigen und rechtsseitigen Differentialquotienten und vergleiche beide miteinander.
Doch irgendwie bin ich mir grade unsicher, ob ich das [mm] c_{1} [/mm] bzw. [mm] c_{2} [/mm] mit in den Differentialquotienten aufnehmen muss oder nicht?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Aufnehmen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Sa 14.09.2013
Autor: Infinit

Hallo Boogey,
ja, selbstverständlich musst Du die Konstanten mit in den Differentialquotienten aufnehmen. Ihre werte bestimmen, ob die Funktion differenzierbar ist oder nicht.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Sa 14.09.2013
Autor: Boogey

Achso, d.h. ich muss die Parameter [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] vorher bestimmen und dann kann ich den links-/bzw. rechtsseitigen Differentialquotienten berechnen? :)

Dann erhalte ich ja unterschiedliche Diff.-quotienten, d.h. die Funktion ist in x = 0 nicht diffbar.

Bezug
                        
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Sa 14.09.2013
Autor: tobit09


> Achso, d.h. ich muss die Parameter [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] vorher
> bestimmen und dann kann ich den links-/bzw. rechtsseitigen
> Differentialquotienten berechnen? :)

Es wäre es gut, wenn du den Kontext posten würdest. Wie lautet die eigentliche Aufgabenstellung? Ohne ihre Kenntnis weiß ich nicht, was [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] eigentlich sein sollen.

> Dann erhalte ich ja unterschiedliche Diff.-quotienten, d.h.
> die Funktion ist in x = 0 nicht diffbar.

Genau, die Funktion ist (unabhängig davon, wie [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] lauten) nicht differenzierbar an der Stelle $0$.


Bezug
                                
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Sa 14.09.2013
Autor: Boogey

Hi, der Kontext war, dass wir beweisen sollen, dass es zu einer bestimmten Funktion f keine Stammfunktion gibt. :)

Die Funktion war definiert als [mm] f(x)=\begin{cases}0, & x\in [-1,0[ & 1, & x\in [0,1] \end{cases} [/mm]

Die einzige mögliche Stammfunktion wäre ja die, die ich oben geschrieben hab, aber da diese Funktion nicht diffbar ist, kann sie auch keine Stammfunktion sein.

Nun hab ich doch nochmal kurz eine Frage zum Differentialquotienten allgemein, weil ich da glaube ich irgendwie was verwechsel bzw. mir etwas nicht ganz klar ist:

Angenommen wir betrachten in einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] den links- sowie rechtsseitigen Differentialquotienten einer Funktion. Wenn beide nun gleich sind, dann ist die Funktion an dieser betrachteten Stelle diffbar.
Wenn einer der beiden/ oder beide Differentialquotienten nicht existieren, ist die Funktion an dieser Stelle ja nicht diffbar, oder?
Mir ist irgendwie unklar was passiert wenn für beide Differentialquotienten [mm] \infty [/mm] rauskommt, also die Grenzwerte nicht existieren.

Bezug
                                        
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Sa 14.09.2013
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenmr]

Ich gehe nur auf einen Teil deiner Frage ein und stelle sie deshalb auf 'teiweise beantwortet'.

> Nun hab ich doch nochmal kurz eine Frage zum
> Differentialquotienten allgemein, weil ich da glaube ich
> irgendwie was verwechsel bzw. mir etwas nicht ganz klar
> ist:

>

> Angenommen wir betrachten in einer Stelle [mm]x_{0}[/mm] den links-
> sowie rechtsseitigen Differentialquotienten einer Funktion.
> Wenn beide nun gleich sind, dann ist die Funktion an dieser
> betrachteten Stelle diffbar.
> Wenn einer der beiden/ oder beide Differentialquotienten
> nicht existieren, ist die Funktion an dieser Stelle ja
> nicht diffbar, oder?

So ist es.

> Mir ist irgendwie unklar was passiert wenn für beide
> Differentialquotienten [mm]\infty[/mm] rauskommt, also die
> Grenzwerte nicht existieren.

Na, dann ist sie an dieser Stelle eben nicht diffbar. Die Funktion f mit

[mm] f(x)=-\wurzel{|x|} [/mm]

etwa ist an der Stelle x=0 definiert, stetig aber nicht differenzierbar. Sie nähert sich dem Ursprung von beiden Seiten her so an, dass sie letztendlich 'senkrecht' ankommt, was genau dem von dir gefragten Szewnario entspricht.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:35 Sa 14.09.2013
Autor: Boogey

Okay, vielen Dank für die Erläuterung! :)

Bezug
                                        
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Sa 14.09.2013
Autor: tobit09


> Hi, der Kontext war, dass wir beweisen sollen, dass es zu
> einer bestimmten Funktion f keine Stammfunktion gibt. :)
>  
> Die Funktion war definiert als [mm]f(x)=\begin{cases}0, & x\in [-1,0[ & 1, & x\in [0,1] \end{cases}[/mm]
>  
> Die einzige mögliche Stammfunktion wäre ja die, die ich
> oben geschrieben hab, aber da diese Funktion nicht diffbar
> ist, kann sie auch keine Stammfunktion sein.

[ok]


(Beachte übrigens, dass z.B.

    [mm] $f\colon[0,1]\to\IR,\quad [/mm] f(x)=5$

an der Stelle $0$ differenzierbar ist, obwohl der linksseitige Grenzwert [mm] $\lim_{x\uparrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] nicht existiert (mangels der Existenz einer Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n\in[0,1]$ [/mm] und [mm] $x_n<0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=0$).) [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Sa 14.09.2013
Autor: fred97


> Hi, der Kontext war, dass wir beweisen sollen, dass es zu
> einer bestimmten Funktion f keine Stammfunktion gibt. :)
>  
> Die Funktion war definiert als [mm]f(x)=\begin{cases}0, & x\in [-1,0[ & 1, & x\in [0,1] \end{cases}[/mm]
>  
> Die einzige mögliche Stammfunktion wäre ja die, die ich
> oben geschrieben hab, aber da diese Funktion nicht diffbar
> ist, kann sie auch keine Stammfunktion sein.

Sachte....

Wenn f eine Stammfunktion F hätte, so würde eine solche so aussehen:

$ [mm] F(x)=\begin{cases} 0 + c_{1}, & x \in [-1,0[ \\ x + c_{2}, & x \in [0,1]\end{cases} [/mm] $.

Ist Dir klar warum ?

Nun ist F aber in 0 nicht differenzierbar, also kann f auf [-1,1] keine Stammfunktion haben.


FRED

>  
> Nun hab ich doch nochmal kurz eine Frage zum
> Differentialquotienten allgemein, weil ich da glaube ich
> irgendwie was verwechsel bzw. mir etwas nicht ganz klar
> ist:
>  
> Angenommen wir betrachten in einer Stelle [mm]x_{0}[/mm] den links-
> sowie rechtsseitigen Differentialquotienten einer Funktion.
> Wenn beide nun gleich sind, dann ist die Funktion an dieser
> betrachteten Stelle diffbar.
>  Wenn einer der beiden/ oder beide Differentialquotienten
> nicht existieren, ist die Funktion an dieser Stelle ja
> nicht diffbar, oder?
>  Mir ist irgendwie unklar was passiert wenn für beide
> Differentialquotienten [mm]\infty[/mm] rauskommt, also die
> Grenzwerte nicht existieren.


Bezug
        
Bezug
Diffbarkeit einer Stammfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Sa 14.09.2013
Autor: tobit09

Hallo Boogey und herzlich [willkommenmr]!


Stammfunktionen sind übrigens per Definitionem differenzierbare Funktionen. Aber die vorliegende Funktion $f$ ist (unabhängig von den Werten der Zahlen [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$) [/mm] nicht differenzierbar. Also handelt es sich bei $f$ nicht um eine Stammfunktion.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]