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Differentialrechnung: Ganzrationale Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Mi 29.05.2013
Autor: inmortal

Aufgabe
Eine Funktion dritter Ordnung ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0,0), hat im Wendepunkt die Steigung -3 und im Maximum einen Funktionswert
ymax=f(xmax)=2.
Bestimme Sie die Gleichung der Funktion

Hallo, ich bin am verzweifeln und komme bei dieser Aufgabe gar nicht weiter!
Ich hoffe ihr könnt mir Lösungsvorschläge bzw. die Lösug berechnen!

Meine Lösungsversuche:
Habe die Steigung -3 zur Stammfunktion einer Funktion 3. Ordnung gebracht,
da ich davon ausgehe, dass die Steigung des Wendepunktes die 1. Ableitung der 2. Ableitung ist. und habe als Ergebnis -0,5x³ für die Funktion bekomme.
Was ist mit dem ymax=2 gemeint?

Danke für eure Hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:20 Do 30.05.2013
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Eine Funktion dritter Ordnung ist punktsymmetrisch zum
> Ursprung (0,0), hat im Wendepunkt die Steigung -3 und im
> Maximum einen Funktionswert
> ymax=f(xmax)=2.
> Bestimme Sie die Gleichung der Funktion
> Hallo, ich bin am verzweifeln und komme bei dieser Aufgabe
> gar nicht weiter!
> Ich hoffe ihr könnt mir Lösungsvorschläge bzw. die
> Lösug berechnen!

Gehen wir die MBSteckbriefaufgabe mal systematisch an.

Gesucht ist eine Funktion dritten Grades, also hast du
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d [/mm]

Da diese ursprungssymmetrisch sein soll, muss gelten b=d=0, da die Ursprungssymmetrie die geraden Exponenten ausschließt.

Also hast du nur noch:
[mm] f(x)=ax^{3}+cx [/mm]

Da von Extrem- und Wendestellen die Rede ist, leiten wir nun dreimal ab (Eine mögliche Notwendige Bed. f. Wendepunkt ist ja [mm]f'''(x_{w})\ne0[/mm])

Das ergibt:
[mm]f'(x)=3ax^{2}+c[/mm]
[mm]f''(x)=6ax[/mm]
[mm]f'''(x)=6[/mm]

Der Wendepunkt muss hier im Ursprung liegen, da dieses die einzige Stelle ist, an der gilt [mm] f''(x_{w})=0 [/mm]
Die notwendige Bedingung ist ebenfalls erfüllt.

Dort hat die Funktion die Steigung -3, also muss gelten:
[mm]f'(0)=-3[/mm]
Das führt zu [mm] 3a\cdot0+c=-3\Leftrightarrow-3=c [/mm] .

Damit hast du
[mm] f(x)=ax^{3}-3 [/mm]

Bleibt noch, a zu bestimmen, dazu brauchst du noch den Hochpunkt, dazu muss gelten:
f'(x)=0, das führt hier zu:
[mm]3ax^{2}-3=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{a}}[/mm]

Da du nur für positive a die Wurzel ziehen kannst, muss a dann auch positiv sein. Außerdem bekommst du nur dann einen Wendepunkt mit fallender Steigung.

Damit hat der Hochpunkt die x-Koordinate [mm] x=-\sqrt{\frac{1}{a}}, [/mm] denn
[mm] f''\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=6a\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)<0 [/mm]
aber
[mm] f''\left(\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=6a\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)>0 [/mm]

Also muss gelten, da die y-Koordinate dieses Hochpunktes 2 sein soll:

[mm] f\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=2 [/mm]

Mit der konkreten Funktion:

[mm] \left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)^{3}-3\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=2 [/mm]

Berechne daraus nun den fehlenden Parameter a.

Bedenke:

[mm] \left(\sqrt{r}\right)^{3}=\left(\sqrt{r}\right)^{2}\cdot\left(\sqrt{r}\right)=r\cdot\sqrt{r} [/mm]


>

> Meine Lösungsversuche:
> Habe die Steigung -3 zur Stammfunktion einer Funktion 3.
> Ordnung gebracht,

Was hat denn die Stammfunktion hier zu suchen?

> da ich davon ausgehe, dass die Steigung des Wendepunktes
> die 1. Ableitung der 2. Ableitung ist. und habe als
> Ergebnis -0,5x³ für die Funktion bekomme.
> Was ist mit dem ymax=2 gemeint?

[mm] y_{max}=2 [/mm] bedeutet, dass die y-Koordinate eines zu suchenden Hochpunktes 2 sein soll.

Marius

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