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Differenzengleichungen: Folge als DFG
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Do 09.06.2011
Autor: Cyantific

Aufgabe
Beschreiben Sie folgende Folgen als Differenzengleichung 1. Ordnung und lösen Sie diese.

[mm] \summe_{k=0}^{n}\pi^k [/mm]

Frage 1: Wie sieht die Folge überhaupt aus?
[mm] 1,\pi,\pi^2,\pi^3... [/mm] oder [mm] 1,1+\pi,1+\pi+\pi^2? [/mm]

Frage 2: Wie gehe ich vor?
Folgende Folge konnte schon selbständig gelöst werden: 7,-10, 24,-44,92,...

Es gilt: [mm] y_{t+1}=a*y_{t} [/mm] +s und [mm] y_{t}=b*(a)^t+s/1-a [/mm]
Also: -10=7a+s und 24=-10a+s, daraus ergibt sich a=-2 und s=4
Dann: [mm] y_{0}=7 [/mm] --> [mm] b*(-2)^0+4/3=7, [/mm] ergibt b=17/3
Lösung: [mm] 17/3*(-2)^t+4/3 [/mm]

Selbst wenn man beide Folgenmöglichkeiten ausprobiert und nach diesem Schema vorgeht, erhält man keine Lösung.

In meinen Aufschrieben ist lediglich der Verweis auf: Durchs Hinschauen erkennt man das Konstruktionsprinzip [mm] y_{t}=\pi*y_{t-1}+1 [/mm] bzw. [mm] y_{t+1}=pi*y_{t}+1. [/mm]

Das zu lösen ist kein Problem (siehe oben), aber das durchs hinsehen erkennen?! Wieso kann hier nicht nach der obigen Methode verfahren werden?


Gruss

        
Bezug
Differenzengleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Do 09.06.2011
Autor: ullim

Hi,

die Reihe sieht folgendermaßen aus

[mm] 1+\pi+\pi^2+.... [/mm]

Die Gleichung [mm] y_{k+1}=\pi*y_k+1 [/mm] mit [mm] y_0=0 [/mm] hat folgendes Aussehen

[mm] y_0=0 [/mm]

[mm] y_1=\pi*y_0+1=1 [/mm]

[mm] y_2=\pi*y_1+1=\pi+1 [/mm]

[mm] y_3=\pi*y_2+1=\pi^2+\pi+1 [/mm] etc.

Zur Berechnung siehe bei geometrischer Reihe nach, evtl. hier []Link-Text

Bezug
                
Bezug
Differenzengleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Do 09.06.2011
Autor: Cyantific

Ok also die Folgenglieder heißen [mm] 1,1+\pi,1+\pi+\pi^2.... [/mm]
Also: immer [mm] *\pi [/mm] und dann +1.

Aber warum lässt sich, die wenn ich's mal so ausdrücke "s/a-Methode" nicht auf diese Folge anwenden?



Bezug
                        
Bezug
Differenzengleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Fr 10.06.2011
Autor: ullim

Hi,

die Gleichung [mm] y_{t+1}=a*y_t+s [/mm] ergibt durch einsetzen ineinander

[mm] y_t=a^ty_0+s\summe_{i=0}^{t-1}a^i=a^ty_0+s\bruch{a^t-1}{a-1} [/mm]

Aus dem mittleren Ausdruck kanns Du ablesen das gelten muss

[mm] y_0=0 [/mm]

s=1

[mm] a=\pi [/mm]

also [mm] y_{t+1}=\pi y_{t+1} [/mm] mit [mm] y_0=0 [/mm] und das Ergebnis hast Du auch gleich

[mm] y_t=\bruch{\pi^t-1}{\pi-1} [/mm]

Die Differenzengleichung stimmt damit auch mit der von mir angegebenen überein.

Bezug
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