Differenzialgleichung Energie < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 So 06.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Die elektromagnetische Feinstrukturkonstante [mm] \alpha [/mm] ist eine Funktion der Energie, E, und erfüllt die Gleichung: [mm] E\frac{d\alpha}{dE}&=&\frac{56}{27\pi}\alpha^{2}.
[/mm]
Bei E=0,51 MeV gilt [mm] \alpha\approx [/mm] 1/137. Bestimmen Sie [mm] \alpha [/mm] bei [mm] E=10^{6}MeV. [/mm] |
Hallo,
ich habe mal versucht die DGL zu Lösung, also die Funktion von [mm] \alpha [/mm] aufzustellen. Dabei komme ich zu einigen Ungereimtheiten:
[mm] \Leftrightarrow\frac{d\alpha}{\alpha^{2}}&=&\frac{56}{27\pi E}dE\\\Leftrightarrow\int_{\alpha_{0}}^{\alpha}\frac{d\overline{\alpha}}{\overline{\alpha}^{2}}&=&\frac{56}{27\pi}\int_{E_{0}}^{E}\frac{d\overline{E}}{\overline{E}}\\\Leftrightarrow\left[-\frac{1}{x^{2}}\right]_{\alpha_{0}}^{\alpha}&=&\frac{56}{27\pi}\left(\mbox{ln}|E|-\mbox{ln}|E_{0}|\right)
[/mm]
Ich weiß nun nicht, was [mm] \alpha_0 [/mm] ist, was [mm] E_0 [/mm] ist.
Kann ich da mit der gegebenen Aussage [mm] \alpha=1/137 [/mm] bei E=0,51MeV was erreichen oder muss ich gar ganz anders vorgehen?
Gruß Unk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 So 06.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sicher du kannst das Integral doch an jeder Stelle anfangen also auch bie E=0.51Mev und [mm] \alpha=1/137.
[/mm]
oder du löst die Dgl allgemein und bestimmst ann die Konstante durch die gegebenen Werte.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 So 06.12.2009 | | Autor: | Calli |
...
> Kann ich da mit der gegebenen Aussage [mm]\alpha=1/137[/mm] bei
> E=0,51MeV was erreichen oder muss ich gar ganz anders
> vorgehen?
Hi,
Du musst teilweise ganz anders vorgehen, nämlich richtig über [mm] d\alpha [/mm] integrieren.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Servus Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Unk |
> Du musst teilweise ganz anders vorgehen, nämlich richtig
> über [mm]d\alpha[/mm] integrieren.
>
>
> Servus Calli
Hey,
wo habe ich denn falsch integriert? Irgendwo etwas falsch umgeformt oder wie meinst du das?
Gruß Unk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Stammfkt von [mm] 1/x^2 [/mm] ist nicht [mm] 1/x^2 [/mm] wie in deinem post.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Unk |
Ja stimmt natürlich. In meinem Post war eine 2 im Exponenten zu viel.
Aber gut. Dann steht da jetzt hoffentlich sowas:
[mm] ...\Leftrightarrow\left[-\frac{1}{x}\right]_{\alpha_{0}}^{\alpha}&=&\frac{56}{27\pi}\left(\mbox{ln}|E|-\mbox{ln}|E_{0}|\right)
[/mm]
Kann ich dann für [mm] E_0=0,51 [/mm] MeV einsetzen und für [mm] \alpha_0=1/137?
[/mm]
Das Ganze ausrechnen und ich hab meine Funktion von [mm] \alpha?
[/mm]
Oder wie soll ich dann anders die Konstanten bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Calli |
>...
> Kann ich dann für [mm]E_0=0,51[/mm] MeV einsetzen und für
> [mm]\alpha_0=1/137?[/mm]
Ja, was denn sonst.
Diese Werte sind doch sozusagen die Anfangsbedingungen!
> Das Ganze ausrechnen und ich hab meine Funktion von
> [mm]\alpha?[/mm]
Nöh! Nach Aufgabenstellung ist ein bestimmtes Integral zu bestimmen.
> Oder wie soll ich dann anders die Konstanten bestimmen?
Selbstverständlich kann mit den Anfangsbedingungen auch die Funktion
[mm]\alpha=f(E)[/mm]
bestimmt werden.
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Unk |
Ok ich weiß gerade nicht so recht, was du meinst.
Ich hab also folgendes gemacht: Die gegebenen Werte als Anfangsbedingung eingesetzt, man kommt zu:
[mm] \left[-\frac{1}{x}\right]_{\frac{1}{137}}^{\alpha}&=&\frac{56}{27\pi}\left(\mbox{ln}|E|-\mbox{ln}|0,511|\right)\\\Leftrightarrow137-\frac{1}{\alpha}&=&\frac{56}{27\pi}\mbox{ln}|E|+0,44\\\Leftrightarrow\frac{1}{\alpha}&=&136,56-\frac{56}{27\pi}\cdot\mbox{ln}|E|\\\Leftrightarrow\alpha&=&\left(136,56-\frac{56}{27\pi}\cdot\mbox{ln}|E|\right)^{-1}
[/mm]
Was muss ich nun wie machen, um [mm] \alpha [/mm] bei [mm] E=10^{6}MeV [/mm] auszurechnen? Warum kann ich nicht einfach das jetzt für E einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genau dass du das machen sollst hiess : bestimmtes Integral, Niemand hat gesagt du sollst das gegebene E nicht einsetzen??
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Calli |
...
>
> [mm]\left[-\frac{1}{x}\right]_{\frac{1}{137}}^{\alpha}&=&\frac{56}{27\pi}\left(\mbox{ln}|E|-\mbox{ln}|0,511|\right)\\\Leftrightarrow137-\frac{1}{\alpha}&=&\frac{56}{27\pi}\mbox{ln}|E|+0,44
>...[/mm]
Hey, Du schreibst [mm]{ln}|E|...,[/mm]
wobei E eine Einheit hat.
Nun weiß ich nicht, wie Du den natürlichen Logarithmus von einer Einheit bilden willst.![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mathematisch sauber schreibt man:
[mm]ln|\frac{E}{E_0}|[/mm]
Ciao Calli
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