matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenDifferenzialgleichungssystem
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Ordinary Differential Equations" - Differenzialgleichungssystem
Differenzialgleichungssystem < Ordinary Differential Equations < Differential Equations < Uni-Calculus < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Differenzialgleichungssystem: Beweis
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:42 Di 26/02/2019
Author: Takota

Aufgabe
Hallo!

Ich versuche gerade den Beweis eines Satztes über das Stabilitätsverhalten von Gleichgewichtspunkten linearen homogenen Differenzialgleichungssystemen (autonom) nachzuvollziehen. Das Stabilitätsverhalten hängt nur von den Eigenwerten der Koeffizientenmatrix ab.

Der Beweis beginnt folgendermaßen:

Sei [mm] $\lambda [/mm]  = [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \beta [/mm] $ ein Eigenwert der Matrix A mit der algebraischen Vielfachheit k. Dann haben alle Basislösungen von [mm] $\vec [/mm] y'(x) = [mm] A*\vec [/mm] y(x) $ zu k-fachen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] nach Satz (*) die Form:

[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) * [mm] sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)*cos(\beta [/mm] x)]$,

wobei [mm] $\vec [/mm] p$ und [mm] $\vec [/mm] q $ Vektorpolynome im [mm] $\IR^n$ [/mm] vom Grad kleiner oder höchstens gleich $k-1$ sind.

Die Formel des Satztes (*) lautet:

[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\lambda x}*(\summe_{l=0}^{k-1}*\bruch{x^l}{l!}*(A-\lambda E_n)^l)*\vec [/mm] v$

und ist eine Lösung des Differenzialgleichungssystem [mm] $\vec [/mm] y'(x) = [mm] A*\vec [/mm] y(x) $

[mm] $\vec [/mm] v$ ist ein Hauptvektor.

Ich frage mich nur wie man auf die Basislösungen von [mm] $\vec [/mm] y'(x) = [mm] A*\vec [/mm] y(x) $ kommt? Also auf den Ausdruck:

[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) * [mm] sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)*cos(\beta [/mm] x)]$

Ich habe das so versucht:

[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{(\alpha x+i\beta)*x} [/mm] = [mm] e^{\alpha x} [/mm] * [mm] e^{i\beta x} [/mm] =  [mm] e^{\alpha x} [/mm] * [mm] [cos(\beta [/mm] x) * i [mm] *sin(\beta [/mm] x)]$

Sieht zwar ähnlich aus, aber es steht noch i in der Formel und es fehlen auch die Veltorpolynome p und q.

Also, kann mir bitte jemand zeigen wie man zu diesem Ausdruck gelangt?

LG
Takota

        
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:36 Mi 27/02/2019
Author: fred97


> Hallo!
>  
> Ich versuche gerade den Beweis eines Satztes über das
> Stabilitätsverhalten von Gleichgewichtspunkten linearen
> homogenen Differenzialgleichungssystemen (autonom)
> nachzuvollziehen. Das Stabilitätsverhalten hängt nur von
> den Eigenwerten der Koeffizientenmatrix ab.
>  
> Der Beweis beginnt folgendermaßen:
>  
> Sei [mm]\lambda = \alpha + i \beta[/mm] ein Eigenwert der Matrix A
> mit der algebraischen Vielfachheit k. Dann haben alle
> Basislösungen von [mm]\vec y'(x) = A*\vec y(x)[/mm] zu k-fachen
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] nach Satz (*) die Form:
>  
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}[\vec p(x) * sin(\beta x) + \vec q(x)*cos(\beta x)][/mm],
>  
> wobei [mm]\vec p[/mm] und [mm]\vec q[/mm] Vektorpolynome im [mm]\IR^n[/mm] vom Grad
> kleiner oder höchstens gleich [mm]k-1[/mm] sind.
>  
> Die Formel des Satztes (*) lautet:
>  
> [mm]\vec y(x) = e^{\lambda x}*(\summe_{l=0}^{k-1}*\bruch{x^l}{l!}*(A-\lambda E_n)^l)*\vec v[/mm]
>  
> und ist eine Lösung des Differenzialgleichungssystem [mm]\vec y'(x) = A*\vec y(x)[/mm]
>  
> [mm]\vec v[/mm] ist ein Hauptvektor.
>  Ich frage mich nur wie man auf die Basislösungen von [mm]\vec y'(x) = A*\vec y(x)[/mm]
> kommt? Also auf den Ausdruck:
>  
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}[\vec p(x) * sin(\beta x) + \vec q(x)*cos(\beta x)][/mm]
>  
> Ich habe das so versucht:
>  
> [mm]\vec y(x) = e^{(\alpha x+i\beta)*x} = e^{\alpha x} * e^{i\beta x} = e^{\alpha x} * [cos(\beta x) * i *sin(\beta x)][/mm]
>  
> Sieht zwar ähnlich aus, aber es steht noch i in der Formel
> und es fehlen auch die Veltorpolynome p und q.
>  
> Also, kann mir bitte jemand zeigen wie man zu diesem
> Ausdruck gelangt?

In

$ [mm] \vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\lambda x}\cdot{}(\summe_{l=0}^{k-1}\cdot{}\bruch{x^l}{l!}\cdot{}(A-\lambda E_n)^l)\cdot{}\vec [/mm] v $

ist

[mm] $\summe_{l=0}^{k-1}\cdot{}\bruch{x^l}{l!}\cdot{}(A-\lambda E_n)^l)\cdot{}\vec [/mm] v $

ein Vektorpolynom im [mm] \IC^n [/mm] vom Grad kleiner oder höchstens gleich $ k-1 $.

Nun setze $ [mm] \vec [/mm] u(x):= Re( [mm] \vec [/mm] y(x))$ und  $ [mm] \vec [/mm] w(x):= Im( [mm] \vec [/mm] y(x))$.

Dann sind  $ [mm] \vec [/mm] u(x)$ und  $ [mm] \vec [/mm] w(x)$  von der Form



[mm] $e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) [mm] \cdot{} sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)\cdot{}cos(\beta [/mm] x)] $.


>  
> LG
>  Takota


Bezug
                
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:29 Mi 27/02/2019
Author: Takota

Hallo Fred.

Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein Vektorpolynom ist.

[mm] $\vec [/mm] p(x) = [mm] \vec C_0 [/mm] + [mm] \vec C_1 [/mm] * x + [mm] \vec C_2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + ....$ so steht es in meinem Lehrbuch.

Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:

[mm] $\vec [/mm] p(x) = [mm] \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} [/mm] * x [mm] +\begin{pmatrix} 5-8i \\ 2-7i\end{pmatrix} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + ....$

Ist diese Vorstellung richtig?

Bezug
                        
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:49 Mi 27/02/2019
Author: fred97


> Hallo Fred.
>  
> Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> Vektorpolynom ist.
>  
> [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> so steht es in meinem Lehrbuch.


Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem  Buch eine endliche Summe steht.


>  
> Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
>  
> [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x +\begin{pmatrix} 5-8i \\ 2-7i\end{pmatrix} * x^2 + ....[/mm]
>  
> Ist diese Vorstellung richtig?

Ja, aber wie gesagt,  eine  endliche  Summe.



Bezug
                                
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:45 Sa 02/03/2019
Author: Takota


> > Hallo Fred.
>  >  
> > Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> > Vektorpolynom ist.
>  >  
> > [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> > so steht es in meinem Lehrbuch.
>  
>
> Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem  Buch eine endliche
> Summe steht.
>
>
> >  

> > Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
>  >  
> > [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x [/mm]
>  
> >  

> > Ist diese Vorstellung richtig?
>
> Ja, aber wie gesagt,  eine  endliche  Summe.
>  
>  

Hallo Fred,
ich habe mal als Zahlenbeispiel den nachfolgenden Ausdruck weiter  ausgerechnet und zusammengefasst, damit ich die Struktur besser verstehen lerne:



[mm]\vec y(x) = e^{(\alpha +i\beta) x} *(\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x) = e^{\alpha x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + e^{i \beta x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix}*x [/mm]

Ergebnis:

[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}*(\begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x +\begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x [/mm]

Mit:

[mm] $\vec [/mm] u(x) := [mm] Re(\vec [/mm] y(x)) = [mm] \begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x$ [/mm]

und

[mm] $\vec [/mm] w(x) := [mm] Im(\vec [/mm] y(x)) = [mm] \begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] *x$

d.h.

[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}* [\vec [/mm] u(x) + [mm] \vec [/mm] w(x) ]$

Aber wie geht es weiter - oder habe ich bis hier her alles falsch gemacht / verstanden?

Gruß
Takota

Bezug
                                        
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:37 Mo 04/03/2019
Author: fred97


> > > Hallo Fred.
>  >  >  
> > > Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> > > Vektorpolynom ist.
>  >  >  
> > > [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> > > so steht es in meinem Lehrbuch.
>  >  
> >
> > Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem  Buch eine endliche
> > Summe steht.
> >
> >
> > >  

> > > Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
>  >  >  
> > > [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Ist diese Vorstellung richtig?
> >
> > Ja, aber wie gesagt,  eine  endliche  Summe.
>  >  
> >  

> Hallo Fred,
>  ich habe mal als Zahlenbeispiel den nachfolgenden Ausdruck
> weiter  ausgerechnet und zusammengefasst, damit ich die
> Struktur besser verstehen lerne:
>  
>
>
> [mm]\vec y(x) = e^{(\alpha +i\beta) x} *(\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x) = e^{\alpha x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + e^{i \beta x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix}*x [/mm]
>  
> Ergebnis:
>  
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}*(\begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x +\begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>  
> Mit:
>  
> [mm]\vec u(x) := Re(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]\vec w(x) := Im(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]

Der Imaginärteil ist reell, also (alle i's weg):

[mm]\vec w(x) := Im(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} -cos(\beta x) + 3*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2*cos(\beta x) + 6*sin(\beta x) \\ cos(\beta x) + 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]

>  
> d.h.
>  
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + \vec w(x) ][/mm]

nein. Mit meinem" $ [mm] \vec [/mm] w(x):$

[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + i\vec w(x) ][/mm].


>  
> Aber wie geht es weiter - oder habe ich bis hier her alles
> falsch gemacht / verstanden?
>  
> Gruß
>  Takota


Bezug
                                                
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:21 Di 05/03/2019
Author: Takota


> > Hallo Fred.
>  >  
> > Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> > Vektorpolynom ist.
>  >  
> > [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> > so steht es in meinem Lehrbuch.
>  
>
> Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem  Buch eine endliche
> Summe steht.
>
>
> >  

> > Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
>  >  
> > [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x [/mm]
>  
> >  

> > Ist diese Vorstellung richtig?
>
> Ja, aber wie gesagt,  eine  endliche  Summe.
>  
>  

Hallo Fred,
ich habe mal als Zahlenbeispiel den nachfolgenden Ausdruck weiter  ausgerechnet und zusammengefasst, damit ich die Struktur besser verstehen lerne:

[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x} *(\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x) [/mm]

Ergebnis:

[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}*(\begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x +\begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x [/mm]

Mit:

[mm] $\vec [/mm] u(x) := [mm] Re(\vec [/mm] y(x)) = [mm] \begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x$ [/mm]

und

[mm] $\vec [/mm] w(x) := [mm] Im(\vec [/mm] y(x)) = [mm] \begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] *x$

d.h.

[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}* [\vec [/mm] u(x) + [mm] \vec [/mm] w(x) ]$

Aber das ist noch nicht der gwünschte Ausdruck - oder habe ich hier was falsch gemacht oder falsch verstanden?

Gruß
Takota> > > > Hallo Fred.

>  >  >  >  
> > > > Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> > > > Vektorpolynom ist.
>  >  >  >  
> > > > [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> > > > so steht es in meinem Lehrbuch.
>  >  >  
> > >
> > > Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem  Buch eine endliche
> > > Summe steht.
> > >
> > >
> > > >  

> > > > Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
>  >  >  >  
> > > > [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Ist diese Vorstellung richtig?
> > >
> > > Ja, aber wie gesagt,  eine  endliche  Summe.
>  >  >  
> > >  

> > Hallo Fred,
>  >  ich habe mal als Zahlenbeispiel den nachfolgenden
> Ausdruck
> > weiter  ausgerechnet und zusammengefasst, damit ich die
> > Struktur besser verstehen lerne:
>  >  
> >
> >
> > [mm]\vec y(x) = e^{(\alpha +i\beta) x} *(\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x) = e^{\alpha x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + e^{i \beta x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix}*x[/mm]
>  
> >  

> > Ergebnis:
>  >  
> > [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}*(\begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x +\begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>  
> >  

> > Mit:
>  >  
> > [mm]\vec u(x) := Re(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x[/mm]
>  
> >  

> > und
>  >  
> > [mm]\vec w(x) := Im(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>  
> Der Imaginärteil ist reell, also (alle i's weg):
>  
> [mm]\vec w(x) := Im(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} -cos(\beta x) + 3*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2*cos(\beta x) + 6*sin(\beta x) \\ cos(\beta x) + 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>  
> >  

> > d.h.
>  >  
> > [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + \vec w(x) ][/mm]
>  
> nein. Mit meinem" [mm]\vec w(x):[/mm]
>  
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + i\vec w(x) ][/mm].
>  

Hallo Fred, leider sehe ich nicht, wie ich von dem Ausdruck:

[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + i\vec w(x) ][/mm]

auf den gewünschten Ausdruck komme:

$ [mm] e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) [mm] \cdot{} sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)\cdot{}cos(\beta [/mm] x)] $

Wie kommt man auf

[mm] $\vec [/mm] u(x) = [mm] \vec [/mm] p(x) [mm] \cdot{} sin(\beta [/mm] x)$

und

$ [mm] i\vec [/mm] w(x) = [mm] \vec q(x)\cdot{}cos(\beta [/mm] x)$ ??

Gruß
Takota


Bezug
                                                        
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:43 Di 05/03/2019
Author: leduart

Hallo
da kommst du nicht drauf, sondern u(x)+w(x) so umgeschrieben dass sie nach cos und sin  sortiert sind ergibt erst px)*sin(x)+q(x)*cos(x)
Gruß ledum

Bezug
                                                                
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:54 Fr 08/03/2019
Author: Takota

Hallo Leduart,

danke für die Rückmeldung. Ich habe mein Zahlenbeispiel so ausgerechnet wie du es gesagt hast:

$ [mm] \vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}\cdot{}(\begin{pmatrix} 3\cdot{}cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2\cdot{}cos(\beta x) - 4\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 6\cdot{}cos(\beta x) + 2\cdot{}sin(\beta x) \\ 4\cdot{}cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}\cdot{}x +\begin{pmatrix} - cos(\beta x) + 3\cdot{}sin(\beta x) \\ 4\cdot{}cos(\beta x) + 2\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\cdot{}cos(\beta x) + 6\cdot{}sin(\beta x) \\ \cdot{}cos(\beta x) + 4\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix} \cdot{}x [/mm] $


$ [mm] \vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}\cdot{}[ \begin{pmatrix} 2-4x \\ 6 +5x\end{pmatrix}\cdot cos(\beta [/mm] x) + [mm] \begin{pmatrix} 4+8x \\-2+3x \end{pmatrix}\cdot{}sin(\beta [/mm] x)] $

und siehe da:

$ [mm] e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) [mm] \cdot{} sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)\cdot{}cos(\beta [/mm] x)] $

Eigentlich easy :-)

Ich habe mich noch gefragt, warum das "i" hier nicht mehr auftaucht, dazu meine Erklärung:

Da die Matrix A nur aus rellen Einträgen besteht, hat das zugehörige charakteristische Polynom immer relle Koeffzienten. In der lin. Algebra wurde gezeigt, dass die komplexen Nullstellen von dem charakteristischen Polynom dann immer als konjungiert komplexe Paare auftreten müssen.

Dazu gibt es einen Satz, der besagt, das bei konjungiert komplexe Eigenwerte von A der Realteil und Imaginärteil zwei linear unabhängige Lösungen sind.

Deshalb kann man Realteil und Imaginärteil zu einer Basislösung linar kombinieren, mit den Vektorpolynomen als Koeffzienten, so wie das Endergebniss es oben dargestellt.

Ich hoffe das stimmt in etwa - ansonsten bitte korrigieren.

Gruß
Takota

Bezug
                                                                        
Bezug
Differenzialgleichungssystem: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:16 Fr 08/03/2019
Author: fred97


> Hallo Leduart,
>  
> danke für die Rückmeldung. Ich habe mein Zahlenbeispiel
> so ausgerechnet wie du es gesagt hast:
>  
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}\cdot{}(\begin{pmatrix} 3\cdot{}cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2\cdot{}cos(\beta x) - 4\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\cdot{}cos(\beta x) + 2\cdot{}sin(\beta x) \\ 4\cdot{}cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}\cdot{}x +\begin{pmatrix} - cos(\beta x) + 3\cdot{}sin(\beta x) \\ 4\cdot{}cos(\beta x) + 2\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\cdot{}cos(\beta x) + 6\cdot{}sin(\beta x) \\ \cdot{}cos(\beta x) + 4\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix} \cdot{}x[/mm]
>  
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}\cdot{}[ \begin{pmatrix} 2-4x \\ 6 +5x\end{pmatrix}\cdot cos(\beta x) + \begin{pmatrix} 4+8x \\-2+3x \end{pmatrix}\cdot{}sin(\beta x)][/mm]
>  
> und siehe da:
>  
> [mm]e^{\alpha x}[\vec p(x) \cdot{} sin(\beta x) + \vec q(x)\cdot{}cos(\beta x)][/mm]
>  
> Eigentlich easy :-)
>
> Ich habe mich noch gefragt, warum das "i" hier nicht mehr
> auftaucht, dazu meine Erklärung:
>  
> Da die Matrix A nur aus rellen Einträgen besteht, hat das
> zugehörige charakteristische Polynom immer relle
> Koeffzienten. In der lin. Algebra wurde gezeigt, dass die
> komplexen Nullstellen von dem charakteristischen Polynom
> dann immer als konjungiert komplexe Paare auftreten
> müssen.
>  
> Dazu gibt es einen Satz, der besagt, das bei konjungiert
> komplexe Eigenwerte von A der Realteil und Imaginärteil
> zwei linear unabhängige Lösungen sind.
>  
> Deshalb kann man Realteil und Imaginärteil zu einer
> Basislösung linar kombinieren, mit den Vektorpolynomen als
> Koeffzienten, so wie das Endergebniss es oben dargestellt.
>  
> Ich hoffe das stimmt in etwa - ansonsten bitte
> korrigieren.


Es gibt  nichts zu  korrigieren.



>  
> Gruß
>  Takota


Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]